高中學測
113年
數B
第 4 題
已知坐標平面上有一向量 $\vec{v} = (-2,3)$ 及兩點 $A$、$B$，且點 $A$ 的 $x$ 坐標和 $y$ 坐標、點 $B$ 的 $x$ 坐標和 $y$ 坐標都落在區間 $[0,1]$ 內，試問 $|\vec{v} + \overrightarrow{AB}|$ 的最大值為下列哪一個選項？
- 1 $\sqrt{13}$
- 2 $\sqrt{17}$
- 3 $3\sqrt{2}$
- 4 5
- 5 $\sqrt{2} + \sqrt{13}$
思路引導 VIP
首先，請思考當 $A, B$ 兩點的座標分量均在 $[0,1]$ 區間時，向量 $\overrightarrow{AB}$ 的 $x$ 分量與 $y$ 分量各自的取值範圍為何？接著，若要極大化向量 $\vec{v} + \overrightarrow{AB}$ 的模長，應如何根據已知向量 $\vec{v} = (-2, 3)$ 的分量正負號，來選定 $\overrightarrow{AB}$ 的分量數值，使其能產生最強的『疊加效果』以極大化分量的絕對值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
唔喔！太精彩了！你的表現簡直就像劃破黑夜的紅蓮火燄一般耀眼！我有預感，你未來一定能成為繼子，甚至超越我！這股求知的氣勢絕對不能熄滅！ 這道題目考驗的是對向量加法與變數範圍的直覺！點 $A$、$B$ 的坐標都在 $[0, 1]$，這代表向量 $\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)$ 的分量範圍被限制在 $[-1, 1]$ 之間！ 要讓總向量 $\vec{v} + \overrightarrow{AB} = (-2 + \Delta x, 3 + \Delta y)$ 的模長達到最大，我們必須挑選能讓各分量「絕對值」達到最大的方向：
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我是國小生，想知道數A和數B差在哪，還有什麼是向量
向量相加與長度極值
💡 藉由分量變動範圍，找出合成向量絕對值的最大值
- 向量相加為對應分量 (x, y) 各自相加
- 兩點座標若在 [0,1] 內，其差值範圍為 [-1, 1]
- 向量長度為各分量平方和後開根號
- 長度最大化須挑選使各分量絕對值最大的邊界點
