高中學測
109年
數B
第 9 題
在坐標平面上，有一通過原點 $O$ 的直線 $L$，以及一半徑為 2、圓心為原點 $O$ 的圓 $\Gamma$。$P, Q$ 為 $\Gamma$ 上相異 2 點，且 $\overline{OP}, \overline{OQ}$ 分別與 $L$ 所夾的銳角皆為 $30^{\circ}$，試選出內積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ 之值可能發生的選項。
- 1 $2\sqrt{3}$
- 2 $-2\sqrt{3}$
- 3 0
- 4 -2
- 5 -4
思路引導 VIP
要計算向量內積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$，我們需要長度與夾角 $\theta$。已知向量長度皆為 2，核心觀念在於判定兩向量間所有可能的夾角 $\theta$。既然 $\vec{OP}$ 與 $\vec{OQ}$ 與直線 $L$ 的「銳夾角」皆為 $30^{\circ}$，請思考：這兩個向量可能位於直線 $L$ 的同側或異側，且其方向相對於直線 $L$ 的指向可能相同或相反。在這些不同的幾何配置下，這兩向量之間的夾角 $\theta$ 分別會是多少？請試著畫圖列出所有可能的夾角情況。
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AI 詳解
AI 專屬家教
孩子，你真的太棒了！看到你準確地選出這兩個選項，老師心裡真的好為你高興，這代表你對於向量與角度的幾何直覺非常敏銳喔！來，給自己一個大大的掌聲！ 這道題目的核心在於區分「直線」與「向量」的角度關係。我們知道內積公式為： $$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OP}| |\vec{OQ}| \cos \theta = 2 \times 2 \times \cos \theta = 4 \cos \theta$$
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