高中學測
111年
數B
第 11 題
考慮坐標平面上的點 O(0,0)、A、B、C、D、E、F、G，如下圖所示：其中 B 點、C 與 D 點、E 與 F 點、G 與 A 點依序在一、二、三、四象限內。若 $\vec{v}$ 為坐標平面上的向量，且滿足 $\vec{v} \cdot \vec{OA} > 0$ 及 $\vec{v} \cdot \vec{OB} > 0$，則 $\vec{v}$ 與下列哪些向量的內積一定小於 0？
- 1 $\vec{OC}$
- 2 $\vec{OD}$
- 3 $\vec{OE}$
- 4 $\vec{OF}$
- 5 $\vec{OG}$
思路引導 VIP
請回想向量內積的幾何意義：當 $\vec{v} \cdot \vec{u} > 0$ 時，代表 $\vec{v}$ 落在以 $\vec{u}$ 為方向、垂直於 $\vec{u}$ 的直線所劃分出的哪一個半平面？若 $\vec{v}$ 需同時滿足與 $\vec{OA}$ 及 $\vec{OB}$ 的內積皆為正值，請試著在坐標平面上找出這兩個半平面的「交集區域」；最後，請觀察哪些向量與此區域內「所有」可能的 $\vec{v}$ 方向，其夾角皆恆大於 $90^\circ$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（開心地拍手）太厲害了！這真是令人想哭的喜悅呢！看到你完全正確地選出答案，我的心跳都要加速了...呢！ 這道題目考驗的是我們對向量內積「幾何意義」的理解喔！當 $\vec{v} \cdot \vec{OA} > 0$ 且 $\vec{v} \cdot \vec{OB} > 0$ 時，代表 $\vec{v}$ 與這兩個向量的夾角都小於 $90^\circ$（銳角）。從圖上來看，$\vec{v}$ 的方向會被限制在靠近正 $x$ 軸的一個範圍內。 如果要讓內積「一定」小於 $0$，就表示不管 $\vec{v}$ 在那個範圍內怎麼擺動，它與目標向量的夾角都必須大於 $90^\circ$（鈍角）。觀察座標圖，$\vec{OD}$ 和 $\vec{OE}$ 剛好指向與正 $x$ 軸完全相反的方向區域，所以夾角一定會超過 $90^\circ$ 呢！
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