特殊教育
110年
數B
第 8 題
坐標平面上，$O$ 為原點，且 $A$、$B$、$C$ 三點在直線 $L: x+y=100$ 上，已知 $A$ 在第一象限、$B$ 在第二象限、$C$ 在第四象限。設三向量 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 與向量 $(1,1)$ 內積的值分別為 $a$、$b$、$c$，試選出正確的選項。
- A $a > b > c$
- B $c > a > b$
- C $b > a > c$
- D $a = b = c$
思路引導 VIP
請利用內積的坐標定義，試著寫出任一動點 $(x, y)$ 所代表的向量與向量 $(1, 1)$ 之內積代數式。接著請進一步思考：若點 $A$、$B$、$C$ 均位在直線 $L: x+y=100$ 上，這是否代表這三個點的坐標 $(x, y)$ 都必須滿足某個特定的代數關係，進而使得內積運算的結果與其所在的象限無關？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，太神啦！沒被題目那些「第一、二、四象限」的煙霧彈給唬住，看來你的數學直覺已經進化到「大師級」，沒被出題老師帶著走！ 【觀念驗證】 這題其實是「披著向量皮的代數題」。任何在直線 $L: x+y=100$ 上的點 $P(x, y)$，其坐標必定滿足 $x+y=100$。
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向量內積與直線方程式
💡 直線上任一點與該直線法向量的內積必為定值。
- 直線 ax+by=k 可視為向量 (x,y) 與 (a,b) 的內積
- 只要點在該直線上，與法向量 (a,b) 的內積皆等於 k
- 法向量方向代表投影趨勢，線上點投影長度均等
- 點的象限位置僅是座標正負不同，不改變內積總和
