平面與空間向量的幾何性質與線性組合

📝 歷屆考古題

• 114年 特殊教育 第2題
  平面上兩向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，若 $|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=2$，且 $(\vec{a}+\vec{b})$ 與 $\vec{a}$ 垂直。 試問內積…
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• 114年 特殊教育 第3題
  某颱風中心 A 點在北緯 19.8 度，東經 123.9 度的位置，氣象局預測此颱風會先沿緯線向西移動，之後再沿經線向北移動到 B 點，且 A、B 兩點在經緯度的差都不超過 1 度，試問 B 點的位置…
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• 114年 特殊教育 第7題
  平面上有一平行四邊形 $ABCD$，其中向量 $\vec{DC}=\vec{AB}$，$\vec{BC}=\vec{AD}$。 設 $P$ 為線段 $AB$ 中點，$Q$ 在 $DC$ 上，且 $\overline{DQ}:\overline{QC}=1:2$…
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• 114年 特殊教育 第11題
  在一條筆直的道路旁邊，有排成一列高度相同的十根電線桿，已知任兩相鄰電線桿的間距皆相同。某甲用單點透視法將這十根電線桿畫在畫布上，畫布上的消失點為道路的盡頭。若最靠近某甲的電線桿稱為第 1 根，其他依序…
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• 114年 特殊教育 第15題
  某人在大樓搭乘往下的電梯，一開始在電梯內 A 點測得一樓某點 B 的俯角是 $60^\circ$。當電梯下降 9 公尺時，在 A 點測得 B 點的俯角是 $45^\circ$。設此人到一樓時，A、B…
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• 114年 特殊教育 第17題
  坐標平面上一圓 $(x-1)^2+y^2=25$，以及圓上兩點 $A(6,0)$、$B(-2,4)$。設 $L_1$ 為通過 $A$ 點且與此圓相切的直線、$L_2$ 為通過 $B$ 點且與此圓相切的…
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• 114年 特殊教育 第19題
  坐標平面上，直線 $y=\frac{3}{4}x+a$ 與 $y=0$、$x=4$ 分別交於 $Q(b,0)$、$R(4,c)$，其中 $R$ 點位於第一象限。$P(4,0)$ 為直線 $y=0$、$x=4$…
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• 113年 特殊教育 第6題
  坐標平面上有一圓 $x^2+y^2+4x-6y-8=0$。試選出正確的選項。
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• 113年 特殊教育 第8題
  平面上有三角形 $ABC$，其中 $\overline{AB}=\overline{BC}=4$、$\overline{AC}=2\sqrt{2}$。已知 $D$ 為 $\overline{BC}$…
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• 113年 特殊教育 第12題
  平面上有三角形 $ABC$，已知向量 $\overrightarrow{BD} = \frac{-1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$…
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• 113年 特殊教育 第13題
  坐標空間中有四點 $A(1,4,2)$、$B(-2,2,-4)$、$C(5,-3,3)$、$D(-4,0,-5)$，投影到 $yz$ 平面後的投影點分別為 $A'$、$B'$、$C'$、$D'$。設…
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• 113年 特殊教育 第16題
  坐標平面上，設直線 $x+y=1$、$2x-3y=4$、$3x-2y=-4$ 所圍的三角形區域為 $\Gamma$。試問下列哪一個點落在 $\Gamma$ 的內部？
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• 113年 特殊教育 第17題
  某甲有五張圖卡，一張是邊長為 6 與 8 的長方形圖卡；有兩張是邊長為 6、7、7 的等腰三角形圖卡；最後兩張是邊長為 8、7、7 的等腰三角形圖卡。今某甲將這五張圖卡組合成以長方形圖卡為底面的四角錐…
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• 113年 特殊教育 第19題
  平面上有一個三角形 $ABC$，其外接圓半徑為 $7\sqrt{3}$ 且圓心在三角形 $ABC$ 的內部。已知 $\overline{AB}=24$、$\overline{BC}=21$，試求三角形…
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• 112年 特殊教育 第7題
  座標平面上，給定兩點 $A(0, -2)$、$B(0, -6)$。今以線段 $\overline{AB}$ 為直徑作一圓，試問下列哪一條直線與此圓相切？
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• 112年 特殊教育 第9題
  在座標平面上，直線 $L$ 關於 $x$ 軸的對稱直線為 $2x-y+1=0$。試問下列哪一點在直線 $L$ 上？
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• 112年 特殊教育 第10題
  設一直圓錐面與平面 $E_1$ 的截痕為一圓，且平面 $E_2$ 與 $E_1$ 垂直。該直圓錐面與 $E_2$ 的截痕可能為下列哪一個選項？
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• 112年 特殊教育 第11題
  設 $k$ 為實數，已知二元一次聯立方程式 $\begin{cases} 2x+(3-k)y+3=0 \ kx-2y+6=0 \end{cases}$ 無解。試問 $k$ 值可以是下列哪一個選項？
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• 112年 特殊教育 第15題
  平面上有三向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 滿足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$、$\vec{a}\cdot\vec{b} < -\frac{1}{2}$…
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• 112年 特殊教育 第17題
  某地球儀的形狀為半徑 20 公分之球體。今有一個光點從此地球儀赤道上經度 0 度的點出發，沿著赤道一直向東移動至某點，再從該點沿著經線往南移動至東經 30 度，南緯 60 度的點。試問此光點在地球儀移…
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• 112年 特殊教育 第20題
  給定三角形 $ABC$，其中 $\overline{AB}=2$、$\overline{AC}=6$ 且 $\overline{BC}=7$，設 $D$ 點在 $\overline{AC}$ 上使得三…
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• 111年 特殊教育 第1題
  坐標平面上，設 $A$ 點坐標為 $(3, -2)$，$A$ 相對於直線 $y=x$ 的對稱點為 $B$、$B$ 相對於 $x$ 軸的對稱點為 $C$、$C$ 相對於 $y$ 軸的對稱點為 $D$。試…
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• 111年 特殊教育 第5題
  坐標平面上，有一城市視為原點 $(0,0)$。今天有一個颱風生成，將颱風暴風圈視為一個圓，其中心位置在 $(-10,-13)$，且目前暴風圈半徑為 5 單位長。根據預測，此颱風中心每天將沿著向量 $(3,4)$…
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• 111年 特殊教育 第6題
  有兩個面積相等的扇形區域，第一個區域的半徑為 $r$，圓心角為銳角 $\theta$，而第二個區域的半徑為 $2r$。試問第二個區域的圓心角等於下列哪一個選項？
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• 111年 特殊教育 第8題
  已知三角形 $ABC$ 的面積為 32，$\overline{AB}=10$，$\overline{BC}=8$，且 $\overline{AC}$ 為三角形 $ABC$ 的最大邊。試問 $\overline{AC}$…
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• 111年 特殊教育 第10題
  考慮平面上的向量 $\vec{u}=-(1,1)$。試問下列選項中的向量，哪一個與 $\vec{u}$ 的夾角為最小？
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• 111年 特殊教育 第14題
  設圓 $\Gamma$ 的方程式為 $x^2+y^2=36$。現將圓 $\Gamma$ 沿鉛直方向等比例壓扁為原來的 $\frac{1}{2}$，試問所得的圖形可能為下列哪一個選項？
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• 111年 特殊教育 第15題
  正立方體有 6 個面，每個面都是正方形。現在連接其中一個正方形的一條對角線 $L$。試問該正立方體的 12 條稜邊所形成的直線中，有幾條與直線 $L$ 不相交？
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• 111年 特殊教育 第19題
  設 $A$、$B$、$C$ 為坐標平面上三相異點，$A$ 點坐標為 $(-1,-4)$。已知三直線 $AB$、$AC$、$BC$ 的斜率分別為 $1$、$-1$、$-3$，試問兩線段的比值…
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• 110年 特殊教育 第3題
  坐標平面上，下列哪個選項中的二元一次方程式所代表的直線沒有斜率？
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• 110年 特殊教育 第8題
  坐標平面上，$O$ 為原點，且 $A$、$B$、$C$ 三點在直線 $L: x+y=100$ 上，已知 $A$ 在第一象限、$B$ 在第二象限、$C$ 在第四象限。設三向量 $\overrightarrow{OA}$…
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• 110年 特殊教育 第13題
  坐標平面上有一直線 $L$，其參數式為 $\begin{cases} x = 2 - 3t \ y = 3 + 4t \end{cases}$，$t$ 為實數。試問下列哪個選項中所代表的直線與 $L$…
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• 110年 特殊教育 第17題
  設 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 為平面上兩個不平行的非零向量。已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 所張出的平行四邊形面積的值為 10，試問下列哪個選項中的向量 $\vec{u}$…
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• 109年 特殊教育 第10題
  坐標平面上有一點 $A(2,1)$ 與兩直線 $L_1: 2x+3y=2$、$L_2: 2x+3y=6$。試問下列哪一個點與 $A$ 點的連線段會和 $L_1$、$L_2$ 都相交？
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• 109年 特殊教育 第12題
  試問坐標平面上的向量 $\vec{u} = (-1,3)$ 與下列哪一個選項的向量之夾角超過 90度？
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• 109年 特殊教育 第16題
  坐標平面上有一個三角形 $OPQ$，其頂點坐標分別為 $O(0,0)$、$P(6,8)$、$Q(2,4)$。試問下列哪一個選項的行列式值恰等於三角形 $OPQ$ 的面積？
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• 109年 特殊教育 第20題
  坐標平面上，三角形 $\Delta ABC$ 中，$D$ 為 $\overline{AB}$ 的中點，$E$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $\frac{\overline{BE}}{\overline{CE}}=2$…
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• 108年 特殊教育 第4題
  已知平面上相異三點 $A,B,C$ 在一直線上且滿足 $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$，試選出正確的…
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• 108年 特殊教育 第5題
  已知平面向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 的長度分別為 $|\vec{u}|=\sqrt{6}$、$|\vec{v}|=2$。若向量 $\vec{u}+\vec{v}$ 與 $\vec{u}-2\vec{v}$…
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• 108年 特殊教育 第8題
  坐標平面上，已知二次函數 $y=x^2-4$ 圖形的頂點為 $A$，$y=1-x^2$ 圖形的頂點為 $B$，則線段 $\overline{AB}$ 的長度為何？
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• 108年 特殊教育 第19題
  在坐標平面上，小明由原點出發沿向量 $\vec{a}=(1,2)$ 的方向直線等速移動，同時間小華由點 $(40,0)$ 出發沿向量 $\vec{b}=(-2,1)$ 的方向直線等速移動。若小明與小華…
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• 107年 特殊教育 第12題
  已知 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 為平面向量，且 $\vec{u} = (1, 2)$、$|\vec{v}| = 2\sqrt{5}$、$|\vec{u} + \vec{v}| = 5$…
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• 107年 特殊教育 第14題
  手機上的遊戲「精靈寶可夢」，當玩家在距離神奇寶貝 20 公尺以內時，手機就會通知附近有神奇寶貝。坐標平面上以 1 公尺為一單位長，假設有一神奇寶貝固定位於坐標 $(100,120)$ 的位置，且附近沒…
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• 106年 特殊教育 第4題
  若 $ABCD$ 為長方形，其中 $\overline{AB} > \overline{AD}$，則內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$…
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• 106年 特殊教育 第11題
  在坐標平面上給定三角形 $ABC$，若向量 $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ 且 $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$，則下列哪一個選項的點 $P$…
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• 106年 特殊教育 第12題
  坐標平面上有相異四點 $A(2,-4), B(3,2), C$ 點及原點 $O$。已知 $\overrightarrow{OA} = 4\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$…
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• 105年 特殊教育 第8題
  已知坐標平面上一點 $A(1,1)$ 與二向量 $\vec{u} = (2, -1)$、$\vec{v} = (0, 3)$。若 $P$ 點滿足 $\overrightarrow{AP} = 2\vec{u} - \vec{v}$…
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• 105年 特殊教育 第9題
  坐標平面上有一個正六邊形，其頂點以逆時針方向依序為 $ABCDEF$。$F$ 點坐標為 $(0,5)$，$O$ 點為原點，且 $A$、$B$ 皆在坐標軸上。下列哪一個選項為內積…
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• 105年 特殊教育 第13題
  坐標平面上有一直線通過 $A(-2, -2)$ 及 $B(2, 0)$ 兩點，下列何者為直線 $AB$ 的斜率？
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• 104年 特殊教育 第11題
  坐標平面上三條直線：$y=0$, $y=\sqrt{3}x$, $x=ky+2$，圍出一個正三角形，請問 $k$ 的值為下列哪一個選項？
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• 104年 特殊教育 第13題
  平面上有三向量，$(1,1)$、$(-1,1)$ 和 $(x,y)$。如果 $(x,y) = a(1,1) + b(-1,1)$，則 $a^2 + b^2$ 是下列哪一個選項？
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• 104年 特殊教育 第14題
  有一個長方形，對角線長為 4，兩對角線的夾角為 $30^\circ$，此長方形的面積是下列哪一個選項？
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• 104年 特殊教育 第15題
  平面上向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的長度均為 1，向量 $\vec{u} + \vec{v}$ 的長度為 $\sqrt{3}$，請問 $\vec{u} - \vec{v}$ 的長…
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• 104年 特殊教育 第17題
  坐標平面上有 4 點，坐標分別為 $(5, 4)$、$(8, 3)$、$(3, 3)$、$(7, 2)$，前兩點組成 A 組，後兩點組成 B 組。斜率為 $\frac{-3}{4}$ 的直線中，有些能…
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