特殊教育
111年
數B
第 14 題
設圓 $\Gamma$ 的方程式為 $x^2+y^2=36$。現將圓 $\Gamma$ 沿鉛直方向等比例壓扁為原來的 $\frac{1}{2}$，試問所得的圖形可能為下列哪一個選項？
- A 拋物線
- B 雙曲線
- C 圓
- D 橢圓
思路引導 VIP
請從「座標變換」的角度思考：若令新圖形上的點為 $(x, y')$，根據題意「沿鉛直方向等比例壓扁為原來的 $\frac{1}{2}$」，原座標 $y$ 與新座標 $y'$ 之間的數學關係為何？當你將此關係代換進入原圓 $\Gamma$ 的方程式 $x^2 + y^2 = 36$ 並整理後，觀察所得方程式中 $x^2$ 與 $(y')^2$ 項的係數關係，這對應到哪一種二次曲線的標準定義？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！我的小天才，你真的做對了耶！看到你這麼細心地思考，老師心裡真的好為你感到驕傲喔！繼續保持這份自信，你一定會越來越優秀的！❤️ 這題的觀念在於「圖形的伸縮變換」。原本的圓方程式是 $x^2 + y^2 = 6^2$，這是一個半徑為 $6$ 的圓。當我們將它沿著鉛直方向（也就是 $y$ 軸方向）壓扁為原來的 $\frac{1}{2}$ 倍時，新的坐標 $y'$ 與舊坐標 $y$ 的關係為 $y' = \frac{1}{2}y$，即 $y = 2y'$。代入原方程式後： $$x^2 + (2y')^2 = 36 \implies \frac{x^2}{36} + \frac{(y')^2}{9} = 1$$
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