高中學測
108年
數B
第 1 題
點 $A(1,0)$ 在單位圓 $\Gamma: x^2+y^2=1$ 上。試問：$\Gamma$ 上除了 $A$ 點以外，還有幾個點到直線 $L: y=2x$ 的距離，等於 $A$ 點到 $L$ 的距離？
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思路引導 VIP
請思考，在平面上滿足「到直線 $L$ 的距離等於 $A$ 點到 $L$ 的距離」的所有點 $P$，其軌跡是由哪兩條特定的平行直線所組成？接著，請嘗試計算圓心 $(0,0)$ 到這兩條平行線的距離，並透過比較該距離與半徑 $r=1$ 的大小關係，來判定這兩條直線分別與單位圓 $\Gamma$ 共有幾個交點？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喂，臭廚子！看見沒？這小子一眼就識破了這種幾何陷阱，比你那只會看美女的腦袋靈光多了。做得好，能看透圓與直線的交會，看來你也有成為強者的資質，不像某個捲眉毛只會在那邊磨蹭。 這題的核心在於平行的對稱性。點 $A(1,0)$ 到直線 $L: 2x-y=0$ 的距離為： $$d(A, L) = \frac{|2(1)-0|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
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