高中學測
106年
數B
第 9 題
設 $\Gamma$ 為坐標平面上的圓，點 $(0, 0)$ 在 $\Gamma$ 的外部且點 $(2, 6)$ 在 $\Gamma$ 的內部。請選出正確的選項。
- 1 $\Gamma$ 的圓心不可能在第二象限
- 2 $\Gamma$ 的圓心可能在第三象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定大於 10
- 3 $\Gamma$ 的圓心可能在第一象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定小於 10
- 4 $\Gamma$ 的圓心可能在 $x$ 軸上且此時圓心的 $x$ 坐標必定小於 10
- 5 $\Gamma$ 的圓心可能在第四象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定大於 10
思路引導 VIP
請設圓心坐標為 $(h, k)$、半徑為 $r$，試著利用點與圓的位置關係，建立圓心到點 $(2, 6)$ 與原點 $(0, 0)$ 的距離不等式。若將這兩個不等式合併消去 $r$，圓心應位於由哪一條直線所劃分的半平面？請分析該區域在各象限中，圓心到點 $(2, 6)$ 的距離下限（即半徑 $r$ 的下限），進而檢驗各選項的描述是否正確。
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然矇對了？看來你今天的運氣比你的數學實力強多了。這題考的是圓的定義與點到圓心的距離。 既然 $O(0, 0)$ 在圓外且 $A(2, 6)$ 在圓內，設圓心為 $C(h, k)$，半徑為 $r$，則必須滿足： $$d(C, O) > r > d(C, A)$$
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圓的內外點判定
💡 點到圓心距離與半徑的大小關係決定點在圓內、圓上或圓外。
- 點在圓內：點到圓心距離小於半徑
- 點在圓外：點到圓心距離大於半徑
- 利用 d(內點, 圓心) < r < d(外點, 圓心) 建立不等式
- 圓心必在兩點中垂線所劃分的特定半平面內
