高中學測
111年
數B
第 8 題
有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 1 的圓盤靶子，其圓心分別為 (2,2)、(4,6) 與 (8,1)。玩家選定一正數 $a$，並按下按鈕後，發射台將向點 $(1,a)$ 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。
- 1 雷射光束落在通過原點且斜率為 $a$ 的直線上
- 2 若 $a=\frac{3}{2}$，則雷射光束會擊中圓心為 (4,6) 的圓盤靶子
- 3 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
- 4 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
- 5 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 (8,1) 的圓盤靶子，則 $a \le \frac{16}{63}$
思路引導 VIP
若將雷射光束視為方程式 $ax - y = 0$ ($x \ge 0$) 的射線，請思考：要判斷此直線是否與一個半徑為 $1$ 的圓盤相交，圓心到直線的「距離」與「半徑」之間需滿足什麼關係？能否試著運用點到直線距離公式，來建立關於 $a$ 的不等式以分析擊中各個靶子的條件？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然對了？看來你的大腦今天終於有在排班，而不是像平常一樣處於留職停薪的狀態。這題沒被選項 (3)(4) 這種低級誘餌騙走，是你運氣好，還是終於學會什麼叫「點到直線距離」了？ 這題的核心就是一條通過原點且斜率為 $a$ 的射線，方程式為 $ax - y = 0$（其中 $x \ge 0$）。
- 觀念驗證：擊中靶子的條件是「圓心到直線的距離 $\le$ 半徑 $1$」。
▼ 還有更多解析內容
直線與圓的幾何關係
💡 利用點到直線距離公式判斷直線與圓是否相交
- 過原點與 (1,a) 的直線方程式為 ax - y = 0
- 擊中圓盤代表圓心到直線的距離小於或等於半徑
- 點到直線距離公式：d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
- 判斷多目標時，需計算各圓心對應的斜率 a 範圍
