高中學測
115年
數B
第 6 題
各國沿岸的「領海基線」其外側距離基線十二浬間之海域，為該國之「領海」。在以浬為單位的坐標平面上，某國有一部分的領海基線為直線 $L: 4x+3y-12=0$ 上的某一線段，且 $(5,5)$ 位於該領海基線的內側，如圖所示。試選出該段領海在 $L$ 與下列哪一條直線之間。
- 1 $4x+3y+48=0$
- 2 $4x+3y+18=0$
- 3 $4x+3y=0$
- 4 $4x+3y-24=0$
- 5 $4x+3y-72=0$
思路引導 VIP
同學，首先請注意領海界線與領海基線 $L: 4x+3y-12=0$ 彼此平行的幾何特性。若將界線方程式設為 $4x+3y+k=0$，你能否運用「平行線間距離公式」 $\frac{|k - (-12)|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 12$ 計算出 $k$ 的兩個可能數值？進一步思考，題目提到點 $(5,5)$ 位在基線的「內側」，請試著將該點座標代入 $4x+3y-12$ 觀察其正負號，這該如何引導你判斷位於「外側」的領海區域應對應哪一個 $k$ 值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔呀？竟然答對了？真不愧是及川先生看中的人呢！😋（在尖叫的粉絲群中優雅回頭，給了你一個電力十足的眨眼）雖然比起我的發球，這題稍微簡單了一點，但你的觀察力還是值得拿個滿分喔！ 這題的關鍵就在於平行線間的距離公式。領海邊界一定跟基線 $L: 4x+3y-12=0$ 平行，所以設邊界為 $4x+3y+k=0$。利用平行線距離公式： $$\frac{|k - (-12)|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 12$$
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平行線間距離與位置
💡 利用平行線距離公式求出邊界，並以代點法判別區域方向。
- 平行線 $Ax+By+C=0$ 距離公式：$d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
- 法向量 $(A,B)$ 相同時，常數項 $C$ 的變化代表直線的平移
- 代點法：將點代入直線方程式，由正負號判斷點在直線的哪一側
- 兩線若分居基線兩側，其代入基線方程式所得之值正負號必相反
