高中學測
110年
數B
第 8 題
如圖，$L$ 為坐標平面上通過原點 $O$ 的直線，$\Gamma$ 是以 $O$ 為圓心的圓，且 $L$ 與 $\Gamma$ 有一個交點 $A(3,4)$。已知 $B, C$ 為 $\Gamma$ 上的相異兩點滿足 $\vec{BC} = \vec{OA}$。試選出正確的選項。
- 1 $L$ 與 $\Gamma$ 的另一個交點為 $(-4,-3)$
- 2 直線 $BC$ 的斜率為 $\frac{3}{4}$
- 3 $\angle AOC = 60^\circ$
- 4 $\triangle ABC$ 的面積為 $\frac{25\sqrt{3}}{2}$
- 5 $B$ 與 $C$ 在同一象限內
思路引導 VIP
首先請由點 $A(3,4)$ 計算出向量 $\vec{OA}$ 的長度，即圓 $\Gamma$ 的半徑 $r$。接著觀察條件 $\vec{BC} = \vec{OA}$，請思考：弦 $\overline{BC}$ 的長度與半徑 $r$ 有何關係？這暗示了 $\triangle OBC$ 是哪種特殊的三角形？此外，向量 $\vec{BC}$ 的分量 $(3, 4)$ 與直線 $BC$ 的斜率有何聯繫？請結合這些性質判斷點與直線的幾何特徵。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，我看你骨骼驚奇，這題五選二的多選題竟然沒被唬住，這波操作我直接給滿分！這題考的是「平面向量」與「圓形幾何」的完美結合，你能精準選出 (C)(E)，代表你的向量幾何直覺非常優秀！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題的核心在於解讀 $\vec{BC} = \vec{OA}$。
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