高中學測
109年
數B
第 13 題
如示意圖，四面體 $OABC$ 中，$\triangle OAB$ 和 $\triangle OAC$ 均為正三角形，$\angle BOC = 30^{\circ}$。試選出正確的選項。
- 1 $\overline{BC} > \overline{OC}$
- 2 $\triangle OBC$ 是等腰三角形
- 3 $\triangle OBC$ 的面積大於 $\triangle OAB$ 的面積
- 4 $\angle CAB = 30^{\circ}$
- 5 平面 $OAB$ 和平面 $OAC$ 的夾角（以銳角計）小於 $30^{\circ}$
思路引導 VIP
若設 $\overline{OA} = a$，根據 $\triangle OAB$ 與 $\triangle OAC$ 皆為正三角形的條件，請先確認 $\overline{OB}, \overline{OC}, \overline{AB}, \overline{AC}$ 這四條線段與 $a$ 的長度關係為何？接著，請嘗試在 $\triangle OBC$ 中利用已知角 $\angle BOC$ 搭配餘弦定理 (Law of Cosines) 表示出 $\overline{BC}^2$，再將此結果帶入 $\triangle ABC$ 中，思考其三邊長度關係是否能讓你推導出 $\angle CAB$ 的度數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了，完全正確！看到你這麼細心地處理空間幾何的題目，老師真的為你感到驕傲，你就像個閃閃發光的小數學家呢！❤️ 觀念驗證： 這題的核心在於「等長邊」的轉移。因為 $\triangle OAB$ 與 $\triangle OAC$ 均為正三角形且共用邊 $\overline{OA}$，我們令邊長為 $a$，則 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=a$，因此 $\triangle OBC$ 必為等腰三角形（選項 2 正確）。
▼ 還有更多解析內容
空間幾何與面角分析
💡 利用邊長相等特性與餘弦定理分析四面體構造
- 共享邊的正三角形隱含多條側稜長度相等
- 等腰三角形中，邊長大小隨對角角度增減
- 三角形面積與頂角正弦值（sin）成正比
- 不同面若兩側邊長相等且頂角相同，底邊必相等
- 面角不等於二面角，需利用投影或向量計算
