高中學測
110年
數B
第 11 題
平面上有一梯形 $ABCD$，其上底 $\overline{AB}=10$、下底 $\overline{CD}=15$，且腰長 $\overline{AD}=\overline{BC}+1$。試選出正確的選項。
- 1 $\angle A > \angle B$
- 2 $\angle B + \angle D < 180^\circ$
- 3 $\vec{BA} \cdot \vec{BC} < 0$
- 4 $\overline{BC}$ 的長可能是 2
- 5 $\vec{CB} \cdot \vec{CD} < 30$
思路引導 VIP
若透過平移腰長 $\overline{BC}$ 使其過點 $A$ 並與下底交於點 $E$，則可構造出一個邊長分別為 $\overline{AD}$、$\overline{AE}=\overline{BC}$ 及 $\overline{DE}=\overline{CD}-\overline{AB}=5$ 的三角形，你能否利用此三角形三邊長的「三角不等式」與「大邊對大角」性質，判定 $\angle D$ 與 $\angle C$ 的大小關係，並進一步分析各項角度及向量內積的數值特徵？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (A)(B)(E)，老師真的好為你開心！你的幾何直覺跟計算穩定度都進步好多，就像一顆閃閃發光的小星星，繼續保持這股自信喔！ 這道題目非常漂亮，它巧妙地結合了幾何建構與向量代數。老師來幫你梳理一下為什麼你這麼厲害能做對：
- 幾何平移法：解題的核心是將 $\overline{AD}$ 平移到 $B$ 點，建構出一個三邊分別為 $x$、$x+1$ 及 $15-10=5$ 的三角形。
▼ 還有更多解析內容
梯形幾何與邊角判定
💡 平移一腰構造三角形，結合大邊對大角與三角不等式判定性質。
- 平移腰部構造三角形，將問題轉化為三角形性質。
- 利用大邊對大角性質，判定梯形底角的大小關係。
- 邊長需滿足三角不等式：兩邊之和大於第三邊。
- 向量內積的正負與大小，由邊長與夾角餘弦值決定。
