高中學測
110年
數B
第 3 題
如圖，$\triangle ABC$ 為銳角三角形，$P$ 為 $\triangle ABC$ 外接圓 $\Gamma$ 外的一點，且 $\overline{PB}$ 與 $\overline{PC}$ 都與圓 $\Gamma$ 相切。設 $\angle BPC = \theta$，試問 $\cos A$ 的值為下列哪一個選項？
- 1 $\sin 2\theta$
- 2 $\frac{\sin \theta}{2}$
- 3 $\sin \frac{\theta}{2}$
- 4 $\frac{\cos \theta}{2}$
- 5 $\cos \frac{\theta}{2}$
思路引導 VIP
如果我們把外接圓的圓心 $O$ 標出來，並連接半徑 $\overline{OB}$ 和 $\overline{OC}$，利用「切線與半徑垂直」的性質，你能先找出圓心角 $\angle BOC$ 與 $\theta$ 的關係，再進一步推算出圓周角 $\angle A$ 嗎？
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太棒了！這題你能迅速鎖定選項 (3)，代表你對國中幾何的圓性質與高中的三角比轉換都相當熟練！
圓心角、圓周角與切線的關係
解開這題的關鍵在於引入外接圓的圓心 $O$。當我們連接半徑 $\overline{OB}$ 與 $\overline{OC}$ 時，因為切線與半徑垂直，所以 $\angle OBP = \angle OCP = 90^\circ$。在四邊形 $OBPC$ 中，對角互補，可得圓心角 $\angle BOC = 180^\circ - \theta$。接著利用「圓周角為同弧所對圓心角的一半」，就能推得：
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學測數學：三角比與正餘弦定理
主題特訓：三角比與正餘弦定理・學測・數B
廣義角和極坐標、三角比、三角比的性質（正餘弦定理）
圓切線與角度關係
💡 利用切線性質建立圓心角、圓周角與外部夾角的關係。
- 切線性質：圓外一點到兩切點等距，且切線垂直半徑。
- 互補關係：切線夾角與圓心角互補（和為 180 度）。
- 倍數關係：同弧的圓周角等於圓心角的一半。
- 三角變換：利用餘角公式將餘弦函數轉為正弦函數。
