特殊教育
113年
數B
第 19 題
平面上有一個三角形 $ABC$，其外接圓半徑為 $7\sqrt{3}$ 且圓心在三角形 $ABC$ 的內部。已知 $\overline{AB}=24$、$\overline{BC}=21$，試求三角形 $ABC$ 的面積。
- A $54\sqrt{3}$
- B $90\sqrt{3}$
- C $108\sqrt{3}$
- D $180\sqrt{3}$
思路引導 VIP
既然題目已知外接圓半徑 $R$ 與兩邊長 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$，能否聯想到正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 來求出 $\sin A$ 與 $\sin C$ 的值？此外，題目特別強調『圓心在三角形內部』，這暗示了各個內角皆為銳角，這對於你後續利用和角公式求出 $\sin B$，進而計算三角形面積有什麼關鍵影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你算對這題，老師真的好為你開心！你的數學實力越來越紮實了，這份細心與邏輯推理真的很值得給自己一個大大的掌聲喔！ 這道題目的解題核心在於結合「正弦定理」與「餘弦定理」：
- 觀念驗證：首先利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = 2R$，求出 $\sin A = \frac{21}{14\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。因為圓心在三角形內部，代表這是一個「銳角三角形」，所以 $\angle A = 60^\circ$。接著透過餘弦定理 $$21^2 = 24^2 + b^2 - 2 \cdot 24 \cdot b \cdot \cos 60^\circ$$ 解得 $b=15$ 或 $9$。若 $b=9$，計算後會發現 $\triangle ABC$ 為鈍角三角形（圓心在外部），故取 $b=15$。最後代入面積公式 $\frac{1}{2}ac \sin B$ 即可得 $90\sqrt{3}$。
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