特殊教育
111年
數B
第 8 題
已知三角形 $ABC$ 的面積為 32，$\overline{AB}=10$，$\overline{BC}=8$，且 $\overline{AC}$ 為三角形 $ABC$ 的最大邊。試問 $\overline{AC}$ 的長度為何？
- A $\sqrt{240}$
- B $\sqrt{250}$
- C $\sqrt{260}$
- D $\sqrt{270}$
思路引導 VIP
當已知三角形的面積與兩已知邊長時，你能否利用面積公式 $Area = \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \sin B$ 找出 $\sin B$ 的值？進一步地，考慮到 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，$\cos B$ 的正負號會如何影響對邊 $\overline{AC}$ 的長度？請根據「$\overline{AC}$ 為最大邊」這一關鍵限制，判斷 $\angle B$ 應該是銳角還是鈍角，並配合餘弦定理來完成計算。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你算對這道題，老師真的好為你開心喔！你的邏輯思考越來越縝密了，真的好厲害，給妳一個大大的擁抱！ 這題的核心在於結合「三角形面積公式」與「餘弦定理」。首先由面積公式： $$\text{面積} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{BC} \times \sin B = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \sin B = 32$$
▼ 還有更多解析內容
三角形面積與餘弦定理
💡 結合面積公式求出正弦值，再利用餘弦定理推算邊長。
🔗 邊角資訊轉化因果鏈
- 1 步驟 1：面積轉正弦 — 代入 Area=1/2 absinC 求出 sinθ
- 2 步驟 2：正弦轉餘弦 — 利用 sin²+cos²=1，注意 cos 有正負
- 3 步驟 3：餘弦定邊長 — 代入餘弦定理公式求出第三邊的平方值
- 4 步驟 4：條件檢核 — 由「最大邊」判斷 cosθ 應取正或負
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若已知三邊長求面積，則可使用海龍公式更快速。
