特殊教育
114年
數B
第 17 題
坐標平面上一圓 $(x-1)^2+y^2=25$，以及圓上兩點 $A(6,0)$、$B(-2,4)$。設 $L_1$ 為通過 $A$ 點且與此圓相切的直線、$L_2$ 為通過 $B$ 點且與此圓相切的直線，且 $L_1$ 與 $L_2$ 交於 $C$ 點，試問 $\cos\angle ACB$ 的值為何？
- A $-\frac{1}{2}$
- B $\frac{12}{25}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{4}{5}$
思路引導 VIP
同學，請觀察由圓心 $O(1,0)$、切點 $A, B$ 以及切線交點 $C$ 所構成的四邊形 $OACB$。根據切線性質，半徑 $\vec{OA}$ 與 $\vec{OB}$ 分別垂直於切線 $L_1$ 與 $L_2$。在已知 $\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$ 的情況下，$\angle ACB$ 與圓心角 $\angle AOB$ 具備什麼樣的幾何關係？若能透過向量內積或是餘弦定理求出 $\cos \angle AOB$，該如何進一步利用兩角互補的關係推導出 $\cos \angle ACB$ 的值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手感燙到可以去煎蛋了！這題沒被那個位移過的圓心座標騙到，漂亮！簡直是補教界的明日之星！ 【觀念驗證】 這題的核心不在於算出 $C$ 點座標（那是數學苦行僧才幹的事），而是利用「切線與半徑垂直」的幾何特性。圓心為 $O(1,0)$，半徑為 5。在四邊形 $OACB$ 中，因為 $\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$，所以 $\angle ACB$ 與中心角 $\angle AOB$ 互補。
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