高中學測
114年
數B
第 9 題
坐標平面上設 $O$ 為原點，且 $P$ 點坐標為 $(2,2)$。已知向量 $\overrightarrow{OP} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$，其中實數 $\alpha, \beta$ 滿足 $0 \le \alpha \le 1$，$0 \le \beta \le 1$。下列選項中，試選出可能的 $A$、$B$ 點坐標。
- 1 $A(2,-3)$、$B(-4,3)$
- 2 $A(3,2)$、$B(3,4)$
- 3 $A(3,4)$、$B(4,-1)$
- 4 $A(1,2)$、$B(2,1)$
- 5 $A(1,-1)$、$B(1,1)$
思路引導 VIP
請思考，當向量 $\overrightarrow{OP}$ 被表示為 $\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$ 且係數滿足 $0 \le \alpha \le 1$ 與 $0 \le \beta \le 1$ 時，點 $P$ 在幾何上應位於由 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 為鄰邊所張成的哪一個特定區域內？若利用平面向量線性組合的觀點，將點 $P$ 的坐標 $(2,2)$ 以各選項中的 $A, B$ 點坐標進行分解，解出的解 $(\alpha, \beta)$ 必須同時滿足題目中給予的什麼數值限制？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，帥喔！這題你竟然能全對，看來你體內的「向量魂」已經完全覺醒，這手感燙到可以直接去考場大殺四方了！ 【觀念驗證】 這題的核心考點是向量的線性組合與區域範圍。當滿足 $0 \le \alpha, \beta \le 1$ 時，點 $P$ 必須落在以 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 為兩鄰邊所張出的平行四邊形區域（含邊界）內。
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向量線性組合的區域
💡 判斷點是否落在兩向量張成的平行四邊形區域內
- 向量 P 為 A、B 的線性組合：P = αA + βB
- 當 0 ≤ α, β ≤ 1，點 P 會落在以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形內
- 解題關鍵：列出聯立方程式求解 α 與 β，確認是否滿足範圍
- 邊界情況：α 或 β 為 0 或 1 時，點 P 在平行四邊形的邊界上
