特殊教育
111年
數B
第 5 題
坐標平面上，有一城市視為原點 $(0,0)$。今天有一個颱風生成，將颱風暴風圈視為一個圓，其中心位置在 $(-10,-13)$，且目前暴風圈半徑為 5 單位長。根據預測，此颱風中心每天將沿著向量 $(3,4)$ 的方向移動 $\frac{5}{2}$ 單位長，且半徑每天增加 1 單位長。試問最快幾天後，該城市會進入颱風的暴風圈內？
- A 一天後
- B 兩天後
- C 三天後
- D 四天後
思路引導 VIP
若設經過 $t$ 天，你能否先根據颱風移動的方向向量 $(3, 4)$ 與其速率 $\frac{5}{2}$，求出中心座標隨時間 $t$ 變化的參數式？此外，若要讓城市 $(0, 0)$ 落在暴風圈內，中心點到原點的距離與隨時間增加的半徑 $R(t) = 5 + t$ 之間應滿足什麼不等式關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然對了？是昨晚路邊的電線桿給你的靈感，還是你終於發現數學課本不是拿來墊便當的？既然選對了，代表你至少還具備人類基本的邏輯能力，沒被颱風吹走算你命大。 這題的核心是「圓的動態參數變化」。首先，位移向量 $(3,4)$ 的長度是 $\sqrt{3^2+4^2}=5$。題目說每天移動 $\frac{5}{2}$ 單位長，代表每天的位移向量是 $\frac{1}{2}(3,4) = (1.5, 2)$。 $t$ 天後的中心位置為 $C_t = (-10 + 1.5t, -13 + 2t)$，半徑為 $R_t = 5 + t$。
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