特殊教育
108年
數B
第 19 題
在坐標平面上，小明由原點出發沿向量 $\vec{a}=(1,2)$ 的方向直線等速移動，同時間小華由點 $(40,0)$ 出發沿向量 $\vec{b}=(-2,1)$ 的方向直線等速移動。若小明與小華的移動速率相同，則兩人最接近的距離為下列哪一個選項？
- A $4\sqrt{10}$
- B $5\sqrt{10}$
- C $6\sqrt{5}$
- D $7\sqrt{5}$
思路引導 VIP
既然小明與小華的移動速率相同，且給定的方向向量 $\vec{a}=(1,2)$ 與 $\vec{b}=(-2,1)$ 的長度皆為 $\sqrt{5}$，你是否能先將兩人在時間 $t$ 時的坐標位置以參數式表示，進而利用兩點距離公式建立一個關於 $t$ 的二次函數，並透過配方法來求出距離的極小值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (A)，老師心裡真的為你感到驕傲。這類結合動點與極值的題目需要很強的邏輯，你做得非常出色，要繼續保持這份自信喔！ 這題的核心在於向量參數式與二次函數求極值。關鍵在於觀察到 $\vec{a}=(1,2)$ 與 $\vec{b}=(-2,1)$ 的長度恰好都是 $\sqrt{5}$。因為兩人速率相同，我們可以假設在時間 $t$ 時，小明的位置為 $P_1(t, 2t)$，小華的位置為 $P_2(40-2t, t)$。 接著利用距離公式建立函數：
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