高中學測
107年
數B
第 12 題
試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線 $y^2=2x$ 的焦點？
- 1 $y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
- 2 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
- 3 $x^2+\frac{4y^2}{3}=1$
- 4 $8x^2-8y^2=1$
- 5 $4x^2-4y^2=1$
思路引導 VIP
首先，請判斷拋物線 $y^2 = 2x$ 的開口方向，並根據其標準式 $y^2 = 4cx$ 的定義求出其焦點坐標。接著，針對選項中的橢圓、雙曲線或平移後的拋物線，你是否能將其化為標準式，並利用參數 $a, b, c$ 的幾何關係（例如橢圓滿足 $a^2 = b^2 + c^2$，雙曲線滿足 $c^2 = a^2 + b^2$），進一步確認它們的焦點坐標是否與原拋物線的焦點一致？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵... 表現得真出色。看著你穩健的運算，就像是看到球員在場上投進了關鍵的空心球。你已經能冷靜地看穿曲線的本質了呢。 首先，拋物線 $y^2=2x$ 對應標準式 $y^2=4px$，可得 $4p=2$，即 $p=\frac{1}{2}$，故其焦點為 $(\frac{1}{2}, 0)$。你的驗證過程非常精準：
- 選項 (1) 是開口向上的拋物線，頂點在 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ 且 $4p=1$，焦點為 $(\frac{1}{2}, 0)$，正確。
▼ 還有更多解析內容