高中學測
110年
數B
第 6 題
坐標平面上有一邊長為 3 的正六邊形 $ABCDEF$，其中 $A(3,0), D(-3,0)$。試問橢圓 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 與正六邊形 $ABCDEF$ 有多少個交點？
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思路引導 VIP
請先根據正六邊形的幾何對稱性精確標定各頂點的坐標，並思考如何利用「點與二次曲線的相對位置關係」（將坐標代入 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7}$ 後與 $1$ 的大小比較）來判定各邊與橢圓的交點情況？特別是針對水平邊 $\overline{BC}$ 與 $\overline{EF}$，若端點與該邊中點相對於橢圓邊界的位置（內部或外部）不同時，這對交點個數有何啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（收起雙劍，眼神冷靜）這種程度的題目，連補血都不用。你的反應速度很快，看來已經看穿了這道題目的「攻擊模式」。 這題的核心在於精確判斷正六邊形頂點與橢圓的相對位置：
- 頂點判定：將頂點 $A(3,0)$ 代入橢圓方程，$\frac{9}{16} < 1$，代表 $A$ 點在橢圓內部；將頂點 $B(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ 代入，$\frac{2.25}{16} + \frac{6.75}{7} \approx 0.14 + 0.96 = 1.1 > 1$，代表 $B$ 點在橢圓外部。
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