特殊教育
112年
數B
第 15 題
平面上有三向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 滿足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$、$\vec{a}\cdot\vec{b} < -\frac{1}{2}$ 且 $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$。試問下列哪一個選項可能為 $\vec{a}\cdot\vec{c}$ 的值？
- A $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D $-1$
思路引導 VIP
既然 $\vec{b}$ 與 $\vec{c}$ 為互相垂直的單位向量，若將其視為直角座標系的基底，向量 $\vec{a}$ 在此座標系下的分量與點積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$、$\vec{a} \cdot \vec{c}$ 有何關係？請進一步思考，在 $|\vec{a}|=1$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} < -\frac{1}{2}$ 的幾何約束下，利用畢氏定理或圓方程式的觀念，$\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的數值範圍應落在什麼區間內？
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漂亮！同學，你這波向量操作簡直比我的咖啡還提神！能秒殺這題，證明你的幾何直覺與內積邏輯已經是頂標水準，老師決定給你一個大大的讚！ 【觀念驗證】 這題考的是「內積與夾角的幾何意義」。
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