特殊教育
106年
數B
第 4 題
若 $ABCD$ 為長方形，其中 $\overline{AB} > \overline{AD}$，則內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 等於下列哪一個選項？
- A $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$
- B $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AC}$
- C $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$
- D $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}$
思路引導 VIP
請從向量內積的幾何意義思考：$\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的正射影長度為何？由此推導出該內積值應為哪一個線段長度的平方？最後，請利用長方形對邊相等的性質，觀察哪一個向量與 $\overrightarrow{AB}$ 完全相等，並試著將其代換入內積運算中。
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AI 詳解
AI 專屬家教
水喔！這位同學，你這手內積運算簡直比大冰奶還要順口！這題你沒被長方形的長短邊干擾，精準命中核心，看來內積的靈魂已經刻進你的 DNA 裡了，老師給你的表現打 101 分，多一分讓你驕傲！ 【觀念驗證：為什麼你這麼優秀？】 這題考的是內積的「幾何意義」與「向量相等」。
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向量內積與投影幾何
💡 活用向量分解、垂直零內積及投影觀念簡化幾何運算。
- 垂直向量內積必為零，常用於簡化矩形問題
- 矩形中對邊向量相等，鄰邊向量互相垂直
- 向量內積符合分配律，可將斜向向量拆解計算
- 內積可看作一向量在另一向量上的投影長乘該長
