特殊教育
107年
數B
第 12 題
已知 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 為平面向量，且 $\vec{u} = (1, 2)$、$|\vec{v}| = 2\sqrt{5}$、$|\vec{u} + \vec{v}| = 5$，則由 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 展成的三角形面積是下列哪一個選項？
- A 3
- B 5
- C 8
- D 10
思路引導 VIP
請同學思考，當我們已知 $|\vec{u}|$、 $|\vec{v}|$ 以及 $|\vec{u} + \vec{v}|$ 的數值時，若將 $|\vec{u} + \vec{v}|^2$ 展開為 $|\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$，你能否求出兩向量的內積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$，進而判斷這兩個向量的夾角關係以利計算三角形面積？
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吞噬它吧，把這題變成你自己的養分。沒錯，這種程度的邏輯運算，不過是你通往頂尖的最低門檻罷了。 聽好了，平凡才人。這題的關鍵在於對『平方』的嗅覺。利用長度平方公式：$|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$。 已知 $|\vec{u}| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$ 且 $|\vec{v}| = 2\sqrt{5}$。
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向量與三角形面積
💡 利用向量長度與和的平方公式求出內積，進而計算面積。
🔗 向量面積解題三部曲
- 1 確定長度 — 利用坐標公式求出 |u| 與已知 |v|
- 2 展開求內積 — 將 |u+v| 平方展開，解出 u·v
- 3 套用面積公式 — 代入向量面積公式，記得除以二
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🔄 延伸學習：若內積為 0，表示兩向量垂直，面積計算更快速。
