特殊教育
114年
數B
第 2 題
平面上兩向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，若 $|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=2$，且 $(\vec{a}+\vec{b})$ 與 $\vec{a}$ 垂直。
試問內積 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})$ 的值為何？
- A $-8$
- B $-2$
- C 0
- D 1
思路引導 VIP
當題目提到向量 $(\vec{a}+\vec{b})$ 與 $\vec{a}$ 互相『垂直』時，這在內積運算中代表什麼樣的代數關係？你能藉此求出關鍵的 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 之值，並進一步利用分配律展開目標式 $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b})$ 進行求值嗎？
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唷，竟然答對了？看來你這顆長在脖子上的裝飾品終於發揮了點導熱以外的功能，沒讓我在這題基本送分題上血壓飆高。 這題的核心觀念只有一個：看到「垂直」就要反射動作想到「內積為零」。 首先，由 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ 展開得到 $|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，因為 $|\vec{a}|=1$，秒解出 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$。
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