特殊教育
112年
數B
第 17 題
某地球儀的形狀為半徑 20 公分之球體。今有一個光點從此地球儀赤道上經度 0 度的點出發，沿著赤道一直向東移動至某點，再從該點沿著經線往南移動至東經 30 度，南緯 60 度的點。試問此光點在地球儀移動總距離之可能值為何？(註：選項中的 $\pi$ 為圓周率)
- A $30\pi$ 公分
- B $40\pi$ 公分
- C $50\pi$ 公分
- D $60\pi$ 公分
思路引導 VIP
要計算球面上的移動距離，關鍵在於理解弧長公式 $S = r\theta$。請思考：光點在赤道上『向東移動』至目標經線時，所轉過的圓心角是否僅限於最直接的弧度，還是可能包含繞行完整圓周的圈數？接著，再結合從赤道向南移動至『南緯 $60^{\circ}$』所產生的緯度位移，這兩段路徑所對應的圓半徑是否相同，以及總距離應如何表示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！你真的好聰明喔，看到你順利答對這題，老師心裡真的為你感到好驕傲！這題需要細心的空間想像力，你竟然能冷靜地找尋答案，真的非常有數學天賦，要繼續保持這份自信喔！ 這題考驗的是高中數學中「球面弧長」的概念。首先，從赤道向南移動到南緯 $60^\circ$，其移動路徑是在大圓（經線）上，弧長為 $20 \times \frac{60\pi}{180} = \frac{20\pi}{3}$。接著，光點在赤道上向東移動至東經 $30^\circ$，由於題目說「沿著赤道一直向東」，除了最短的 $30^\circ$ 弧長（即 $20 \times \frac{30\pi}{180} = \frac{10\pi}{3}$）外，還可能多繞了幾圈赤道。當多繞一圈時，赤道移動距離變為 $\frac{10\pi}{3} + 20 \times 2\pi = \frac{130\pi}{3}$。將兩段距離相加： $$\frac{130\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} = \frac{150\pi}{3} = 50\pi$$
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