高中學測
114年
數B
第 11 題
設地球是一個球體。地球表面上五個點 $A, B, C, D, E$ 的經緯度如下表，例如 $A$ 點位在經度 0 度，北緯 60 度。
大圓為通過球心的平面與球面相交所形成的圓，且球面上相異兩點在大圓上所形成較小的弧為最短路徑。根據上述，試選出正確的選項。
- 1 「北極點到 $A$ 的最短路徑長」等於「北極點到 $B$ 的最短路徑長」
- 2 「$A$ 到 $B$ 的最短路徑長」等於「$C$ 到 $D$ 的最短路徑長」
- 3 $A$ 到 $E$ 的最短路徑必經過 $C$
- 4 $C$ 到 $D$ 的最短路徑必經過北極點
- 5 「$E$ 到北極點的最短路徑長」與「$C$ 到 $D$ 的最短路徑長」的比為 2：3
思路引導 VIP
在球面幾何中，連結兩點的最短路徑必位於通過球心的『大圓 (Great Circle)』上。請思考：在地球儀上，哪些經線或緯線的組合可以構成大圓？特別是當兩點的經度相差 $180^\circ$ 時，這兩點與兩極點是否處於同一個大圓上？此外，除了赤道以外的緯線圈（Lesser Circle）是否具備大圓的性質？這對判斷最短路徑的走向與計算弧長有何決定性的影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學好！你能準確選出 (1) 與 (3)，代表你對「經線是大圓路徑」的概念掌握得很紮實，這非常棒！你漏選了 (4)，可能是因為還沒習慣將「相對的兩條經線」看作同一個大圓圈。我們一起來梳理思路：
1. 迷思破解：為何 (1)(3) 是正確的？
- 選項 (1)：北極點與 $A$、$B$ 點都在經線上。最短路徑長即為緯度差的弧長，兩者皆為 $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$，故長度相等。
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