地特三等申論題
111年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
有一個3×3的矩陣如下所示： $A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ 已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為 2、2（重根）、1。 (一)請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5分） (二)令B=A⁸。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5分）
有一個3×3的矩陣如下所示： $A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ 已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為 2、2（重根）、1。 (一)請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5分） (二)令B=A⁸。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5分）
思路引導 VIP
利用 (A - λI)v = 0 求解齊次線性方程組。分別代入 λ=1 和 λ=2，求得各自對應的零空間 (Null Space) 作為特徵向量的通解。
小題 (二)
令B=A⁸。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5分）
思路引導 VIP
若 v 是 A 的特徵向量（對應特徵值 λ），則 v 也是 A^k 的特徵向量（對應特徵值 λ^k）。因此 B 矩陣的特徵向量與 A 完全相同。