地特三等申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
四、給定線性微分方程組： $\frac{dx}{dt} = -4x + y + z$ $\frac{dy}{dt} = x + 5y - z$ $\frac{dz}{dt} = y - 3z$ 該方程組可表示為矩陣形式 $\frac{du}{dt} = Au$，其中 $A = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$ , $u = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
四、給定線性微分方程組： $\frac{dx}{dt} = -4x + y + z$ $\frac{dy}{dt} = x + 5y - z$ $\frac{dz}{dt} = y - 3z$ 該方程組可表示為矩陣形式 $\frac{du}{dt} = Au$，其中 $A = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$ , $u = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
將該方程組之解用上述之特徵值及特徵向量表示。（4 分）
思路引導 VIP
常微分方程組 $\frac{du}{dt} = Au$ 的解為線性組合：$u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} v_2 + c_3 e^{\lambda_3 t} v_3$，直接套用上一題的結果。
小題 (一)
求矩陣 A 之特徵值及對應的特徵向量？（6 分）
思路引導 VIP
這是一題標準的線性代數特徵值問題。透過特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 找出三個特徵值 $\lambda$。然後針對每一個特徵值，求解 $(A - \lambda I)v = 0$ 來獲得相應的特徵向量 $v$。