高考申論題
112年
[統計] 抽樣方法
第 二 題
將母體按照某一標準分成 N 個集群（ mi 為集群 i 中的元素個數，M = Σ_{i=1}^N m_i ），再由這 N 個集群中用簡單隨機抽樣法抽出 n 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。假設 y_i 為第 i 個集群中所有觀測值的總和，欲估計母體的總和。母體總和τ的估計量有：
比率估計量⑴： τ_hat = M * (Σ y_i / Σ m_i)
不偏估計量⑵： τ_hat = (N / n) * Σ y_i
或是由這 N 個集群中用 pps（sampling with probabilities proportional to size）抽出 n 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。則母體總和τ的估計量：
pps 估計量⑶： τ_hat_pps = (M / n) * Σ (y_i / m_i)
請說明此三估計量之使用時機。（15 分）
比率估計量⑴： τ_hat = M * (Σ y_i / Σ m_i)
不偏估計量⑵： τ_hat = (N / n) * Σ y_i
或是由這 N 個集群中用 pps（sampling with probabilities proportional to size）抽出 n 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。則母體總和τ的估計量：
pps 估計量⑶： τ_hat_pps = (M / n) * Σ (y_i / m_i)
請說明此三估計量之使用時機。（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到「輔助資訊（集群大小 $m_i$）的使用時機」與「抽樣設計的精確度比較」。分析時請從兩個維度切入：一是 $y_i$ 與 $m_i$ 的相關性（決定變異數大小），二是母體資訊的已知程度（需不需要知道 $M$ 或所有 $m_i$ 才能抽樣或估計）。
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AI 詳解
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【破題】 單一段集群抽樣中，選擇適當的母體總和估計量需考量「集群總和 ($y_i$) 與集群大小 ($m_i$) 的相關性」以及「抽樣前後對母體輔助資訊（如 $M$ 及其各集群 $m_i$）的掌握程度」，以達到最小化變異數（提高精確度）之目的。 【論述】
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