高考申論題
112年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
若以樣本 $y$ 對 $x$ 做線性迴歸，可得到迴歸估計式 $\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i$。假設 $x$、$y$ 之樣本平均及標準差分別為 $\bar{x}$、$\bar{y}$、$s_x$、$s_y$，樣本相關係數為 $r$。今先將 $x$、$y$ 標準化，即： $$x_i^* = \frac{x_i - \bar{x}}{s_x}, \quad y_i^* = \frac{y_i - \bar{y}}{s_y}$$ 然後以 $y^*$ 對 $x^*$ 做線性迴歸，得到 $\hat{y}_i^* = \tilde{\beta}_0 + \tilde{\beta}_1 x_i^*$。試求：
若以樣本 $y$ 對 $x$ 做線性迴歸，可得到迴歸估計式 $\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i$。假設 $x$、$y$ 之樣本平均及標準差分別為 $\bar{x}$、$\bar{y}$、$s_x$、$s_y$，樣本相關係數為 $r$。今先將 $x$、$y$ 標準化，即： $$x_i^* = \frac{x_i - \bar{x}}{s_x}, \quad y_i^* = \frac{y_i - \bar{y}}{s_y}$$ 然後以 $y^*$ 對 $x^*$ 做線性迴歸，得到 $\hat{y}_i^* = \tilde{\beta}_0 + \tilde{\beta}_1 x_i^*$。試求：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
$\tilde{\beta}_0 = ?$（10 分）
思路引導 VIP
看到這題，應直覺聯想到標準化變數（Z 分數）的特性：樣本平均數必為零。對於最小平方法（OLS）估計而言，迴歸直線必通過樣本平均數點 $(\bar{X}, \bar{Y})$，將此觀念套用於截距項估計公式，代入標準化變數之平均數即可迅速求解。
小題 (二)
$\tilde{\beta}_1$ 和 $\hat{\beta}_1$ 的關係。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗標準化變數對最小平方法（OLS）估計式的影響。解題時應先寫出原變數斜率估計式 $\hat{\beta}_1$ 的定義，再將標準化變數 $x^, y^$ 代入斜率公式推導出 $\tilde{\beta}_1$，並利用標準差 $s_x, s_y$ 連結兩者關係。
小題 (三)
$r$ 和 $\tilde{\beta}_1$ 之關係。（5 分）
思路引導 VIP
遇到變數標準化後的迴歸問題，首先應聯想到簡單線性迴歸斜率估計式與樣本相關係數之間的關係式：斜率 = r × (sy/sx)。接著思考標準化變數的統計特性（平均數為0、標準差為1），將其代入公式即可迅速推導出兩者的等價關係。