高考申論題
112年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
X 為前測成績，Y 為後測成績。假設甲乙兩班的前、後測成績關係分別為 甲：$Y = \beta_{01} + \beta_{11}X + \epsilon$ 乙：$Y = \beta_{02} + \beta_{12}X + \epsilon$ 下表資料中 G 代表班別（G = 1 為甲班，G = 0 為乙班），令 XG 為 X 和 G 乘積。 [表格資料略] 我們以上表資料分別配適以下四組迴歸：M1：Y 對 X 迴歸；M2：Y 對 G 迴歸；M3：Y 對 X 和 G 複迴歸；M4：Y 對 X、G 和 XG 複迴歸。變異數分析結果如下： [變異數分析表 M1~M4 略] 在顯著水準 0.05 下，試求：
X 為前測成績，Y 為後測成績。假設甲乙兩班的前、後測成績關係分別為 甲：$Y = \beta_{01} + \beta_{11}X + \epsilon$ 乙：$Y = \beta_{02} + \beta_{12}X + \epsilon$ 下表資料中 G 代表班別（G = 1 為甲班，G = 0 為乙班），令 XG 為 X 和 G 乘積。 [表格資料略] 我們以上表資料分別配適以下四組迴歸：M1：Y 對 X 迴歸；M2：Y 對 G 迴歸；M3：Y 對 X 和 G 複迴歸；M4：Y 對 X、G 和 XG 複迴歸。變異數分析結果如下： [變異數分析表 M1~M4 略] 在顯著水準 0.05 下，試求：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
檢定「兩班的 Y 對 X 關係是否平行（斜率相同）」，即
$H_0: \beta_{11} = \beta_{12} \text{ and } \beta_{01} \neq \beta_{02}$ vs. $H_1: \beta_{11} \neq \beta_{12} \text{ and } \beta_{01} \neq \beta_{02}$。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗具有虛擬變數的共變異數分析 (ANCOVA) 模型。要檢定兩群組迴歸直線是否平行（斜率相同），關鍵是將群組分列的迴歸係數對應回全模型，並檢定『連續變數與虛擬變數交乘項 (XG)』的係數是否顯著為零。
小題 (二)
檢定「兩班是否有相同之 Y 對 X 線性關係（相同的斜率及截距）」，即
$H_0: \beta_{11} = \beta_{12} \text{ and } \beta_{01} = \beta_{02}$ vs. $H_1: H_0 \text{為非}$。（15 分）
思路引導 VIP
看到檢定兩群體迴歸線是否完全一致（相同截距與斜率），應立刻聯想到虛擬變數模型中的「偏F檢定 (Partial F-test)」。需建立包含虛擬變數與交互作用項的「全模型(M4)」，以及不含分群差異的「縮減模型(M1)」，透過兩者殘差平方和 (SSE) 的差異來建構 F 統計量，並與查表臨界值比較。
📜 參考法條
F-分布臨界值表 P(F > F_{α,v1,v2}) = α = 0.05