高考申論題
112年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
有一線性區塊碼（Linear Block Code）其生成矩陣為G：（每小題5分，共20分） G = (1 0 0 1 1 1 0) (0 1 0 1 1 0 1) (0 0 1 1 0 1 1)
有一線性區塊碼（Linear Block Code）其生成矩陣為G：（每小題5分，共20分） G = (1 0 0 1 1 1 0) (0 1 0 1 1 0 1) (0 0 1 1 0 1 1)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請找出此線性區塊碼的奇偶校驗矩陣H。
思路引導 VIP
觀察生成矩陣 G 是否為系統形式（Systematic form） [I_k | P]。若是，則可直接求出子矩陣 P，並利用二元域（Modulo-2）加法與減法等價的特性，代入公式 H = [P^T | I_{n-k}] 快速求出奇偶校驗矩陣。
小題 (二)
請找出這個碼的最小距離（Minimum Distance）。
思路引導 VIP
看到求線性區塊碼（Linear Block Code）的最小距離，應立即想到其核心性質：最小距離（d_min）等於所有非零碼字的「最小漢明重量（Hamming Weight）」。由於生成矩陣為 3x7，訊息向量長度僅為 3，最穩妥且直觀的解法是直接列舉出 2^3-1=7 個非零碼字，並計算其重量以求得最小值。
小題 (三)
針對一接收向量[1 0 1 1 1 1 0]進行解碼，請找出其錯徵（Syndrome）。
思路引導 VIP
面對線性區塊碼的問題，首先需觀察生成矩陣 G 的形式（是否為系統型 G = [I|P]），進而推導出同位檢查矩陣 H = [P^T|I]。接著利用錯徵公式 S = rH^T，將接收到的向量 r 代入，透過模二（Modulo-2）運算即可求得答案。
小題 (四)
根據(三)的結果，其解碼過後的訊息（Decoded Message Word）為何？
思路引導 VIP
觀察生成矩陣是否為系統形式（Systematic form），藉此判斷訊息位元（Message Word）在碼字（Codeword）中的位置。對於系統碼，修正錯誤後的碼字中，特定位置的位元（通常為前 k 個）即為所求的訊息。