第 一 題

看到線性方塊碼的生成矩陣，首先應將輸入訊息向量與生成矩陣相乘，求出每個輸出碼字位元與輸入訊息位元的代數關係（模 2 加法）。接著，利用 XOR（互斥或）邏輯閘將這些代數方程式轉換為對應的硬體電路圖。

觀察生成矩陣 G 的結構，判斷其是否為系統形式（Systematic form） G = [P | I_k]。利用在二元域（GF(2)）中生成矩陣與查核矩陣的對偶關係 H = [I_{n-k} | P^T]，即可直接推導出對應的查核矩陣 H。

面對線性方塊碼的問題，應立刻聯想到「最小距離等於同位檢查矩陣 H 中最小線性相依的行數」。可先將生成矩陣 G 轉為系統形式以求得 H，觀察找出相加（模2加法）為零向量的最小行數即可求得 d_min，最後代入錯誤更正公式 t = ⌊(d_min - 1) / 2⌋ 求得更正能力。

本題考查線性方塊碼的解碼原理。解題時首先需由生成矩陣 $G$ 識別出系統碼結構並推導出奇偶校驗矩陣 $H$。接著利用 $S = eH^T$ 的關係，求出單一位元錯誤（Error Pattern）所對應的徵狀（Syndrome），以建構解碼所需之對應表。

看到線性方塊碼的解碼器設計，首先應從生成矩陣 G 提取出同位檢查矩陣 H。接著利用 H 寫出病徵（Syndrome）的運算方程式，最後將「接收暫存器」、「病徵計算之 XOR 邏輯閘」、「錯誤圖樣查表邏輯」以及「錯誤修正 XOR 閘」繪製成完整的解碼器方塊圖。