調查局三等申論題
113年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
在本題目中，我們考慮以漢明碼（Hamming code）來做錯誤更正碼（error correcting code）。如下所示為(7, 4)漢明碼的校對檢測矩陣（parity check matrix）： H= [1 0 0 1 1 0 1] [0 1 0 1 0 1 1] [0 0 1 0 1 1 1] （每小題題分如內文）
在本題目中，我們考慮以漢明碼（Hamming code）來做錯誤更正碼（error correcting code）。如下所示為(7, 4)漢明碼的校對檢測矩陣（parity check matrix）： H= [1 0 0 1 1 0 1] [0 1 0 1 0 1 1] [0 0 1 0 1 1 1] （每小題題分如內文）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請找出與H對應的生成矩陣（generator matrix）。（10 分）
思路引導 VIP
觀察已知的校對檢測矩陣 H 是否具有系統式結構（如包含單位矩陣）。將 H 拆解為 [I | P] 形式，利用線性區塊碼中生成矩陣 G 與 H 滿足 G(H^T)=0 的正交特性，推導出對應的系統式生成矩陣 G = [P^T | I]。
小題 (二)
請列出所有的碼字（codewords）。（5 分）
思路引導 VIP
解題的關鍵在於從已知的校對檢測矩陣 H 觀察其結構以找出生成矩陣 G，或是直接利用 H · C^T = 0 的正交關係推導出同位元（parity bits）方程式。藉由列舉所有可能的 4 位元訊息向量（共 16 種組合），將其代入方程式中，即可系統性地求出所有的碼字（Codewords）。
小題 (三)
本(7, 4)漢明碼的最小距離（minimum distance）為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到線性區塊碼求最小距離，應立即聯想到定理：最小距離等於校對檢測矩陣（H 矩陣）中，構成線性相依的最小行向量（column vector）個數。同時，具備基本觀念的考生可直接反射出「所有漢明碼的最小距離皆固定為 3」，並以此作為計算驗證的基礎。