調查局三等申論題
113年
[電子科學組] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
在本題目中，我們考慮以漢明碼（Hamming code）來做錯誤更正碼（error correcting code）。如下所示為(7, 4)漢明碼的校對檢測矩陣（parity check matrix）： H= [1 0 0 1 1 0 1] [0 1 0 1 0 1 1] [0 0 1 0 1 1 1] （每小題題分如內文）
在本題目中，我們考慮以漢明碼（Hamming code）來做錯誤更正碼（error correcting code）。如下所示為(7, 4)漢明碼的校對檢測矩陣（parity check matrix）： H= [1 0 0 1 1 0 1] [0 1 0 1 0 1 1] [0 0 1 0 1 1 1] （每小題題分如內文）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請找出與H對應的生成矩陣（generator matrix）。（10 分）
思路引導 VIP
觀察已知的校對檢測矩陣 H 是否具有系統式結構（如包含單位矩陣）。將 H 拆解為 [I | P] 形式，利用線性區塊碼中生成矩陣 G 與 H 滿足 G(H^T)=0 的正交特性，推導出對應的系統式生成矩陣 G = [P^T | I]。
小題 (二)
請列出所有的碼字（codewords）。（5 分）
思路引導 VIP
解題的關鍵在於從已知的校對檢測矩陣 H 觀察其結構以找出生成矩陣 G，或是直接利用 H · C^T = 0 的正交關係推導出同位元（parity bits）方程式。藉由列舉所有可能的 4 位元訊息向量（共 16 種組合），將其代入方程式中，即可系統性地求出所有的碼字（Codewords）。
小題 (三)
本(7, 4)漢明碼的最小距離（minimum distance）為何？（5 分）
思路引導 VIP
看到線性區塊碼求最小距離，應立即聯想到定理：最小距離等於校對檢測矩陣（H 矩陣）中，構成線性相依的最小行向量（column vector）個數。同時，具備基本觀念的考生可直接反射出「所有漢明碼的最小距離皆固定為 3」，並以此作為計算驗證的基礎。
漢明碼矩陣轉換
💡 利用線性區塊碼中 G 與 H 矩陣的正交特性（G·Hᵀ=0）進行互換。
🔗 H 轉 G 矩陣標準作業程序
- 1 提取 P 矩陣 — 從系統式 H = [I | P] 中分離出右側的 P 矩陣
- 2 執行轉置 — 將 P 矩陣列行互換，得到 P^T 矩陣
- 3 拼湊 G 矩陣 — 依公式 G = [P^T | I_k] 組合出生成矩陣
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🔄 延伸學習：延伸學習：若 H 非系統式，需先進行列運算（Row Operation）化簡。
