高考申論題
112年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
二、圖二為一典型的倒單擺系統，包含台車、支桿、與一個位於支桿頂端的重物。F是施加於台車的力，倒單擺支桿與垂直地面的夾角為θ，而x表示台車的位移。
經過簡化後，假設此倒單擺系統的動態方程式可表示成：
0.1ẍ − 0.01θ̈ = F
0.2θ̈ − 10θ = ẍ
二、圖二為一典型的倒單擺系統，包含台車、支桿、與一個位於支桿頂端的重物。F是施加於台車的力，倒單擺支桿與垂直地面的夾角為θ，而x表示台車的位移。
經過簡化後，假設此倒單擺系統的動態方程式可表示成：
0.1ẍ − 0.01θ̈ = F
0.2θ̈ − 10θ = ẍ
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求解此系統之轉移函數（transfer function），ℒ{θ}/ℒ{F}，其中ℒ代表拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10分）
思路引導 VIP
本題要求從微分方程式推導轉移函數。轉移函數的定義是「在初始條件為零的假設下，輸出的拉普拉斯轉換與輸入的拉普拉斯轉換之比值」。首先，針對題目提供的兩條簡化後的動態方程式進行拉普拉斯轉換（將二次微分項 $\ddot{x}$ 轉換為 $s^2X(s)$ 等）。接著，題目的目標輸出是 $\theta$（對應 $\Theta(s)$），輸入是 $F$（對應 $F(s)$），所以必須從代數方程組中消去中間變數 $X(s)$。整理後即可得到 $\Theta(s)/F(s)$ 的轉移函數。
小題 (二)
繪出此系統（輸入為F，輸出為θ）之波德圖（Bode plot）以表示其之頻率響應。波德圖應包含以分貝（dB）為單位之增益（gain）圖與相位（phase）圖兩個部分。（20分）
思路引導 VIP
這是一道不穩定系統的波德圖繪製題。首先由前小題可知轉移函數為 $G(s) = \frac{100}{s^2 - 100}$。將 $s$ 代換為 $j\omega$ 求取頻率響應函數 $G(j\omega)$。化簡後發現 $G(j\omega) = \frac{100}{-\omega^2 - 100} = \frac{-100}{\omega^2 + 100} = \frac{-1}{1 + (\omega/10)^2}$。這是一個非常特殊的型態：其值對所有 $\omega$ 都是「負實數」。在增益圖部分，處理方式類似一階或二階極點的漸近線畫法（轉角頻率為 10 rad/s，高頻斜率為 -40 dB/dec）。在相位圖部分，因為始終為負實數，虛部為 0，這意味著其相位角恆為 $-180^\circ$（或 $180^\circ$）。必須明確交代為什麼相位是一條水平線。
轉移函數求解步驟
💡 利用拉普拉斯轉換將時域微分方程轉為 $s$ 域代數方程求輸出入比值。
🔗 求解轉移函數邏輯鏈
- 1 時域轉換 — 假設初始條件為0，對所有變數進行拉氏轉換
- 2 變數消去 — 利用聯立方程式，將不屬於輸出入的變數消去
- 3 比值整理 — 將 Output 置於分子，Input 置於分母
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🔄 延伸學習：延伸學習：當系統不穩定時（分母有正根），如何設計控制器使其穩定。
