高考申論題
112年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該區域抽得一個包含500戶（第一重樣本n'=500）的簡單隨機樣本以取得養殖型態（是否為漁電共生的層別資訊），調查得知其中100戶為漁電共生戶，進而以簡單隨機抽樣由漁電共生及非漁電共生的養殖漁戶分別抽20%以調查其營運成本資訊，調查結果整理如下表： 養殖型態（層別） | 第一重樣本（戶）n'_h | 第二重樣本（戶）n_h | 平均年營運成本 y_i（十萬元） | 標準差 s_i（十萬元） 漁電共生（I） | 100 | 20 | 120 | 100 非漁電共生（II）| 400 | 80 | 50 | 60 合計 | 500（n'） | 100（n） | 75（s）
欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該區域抽得一個包含500戶（第一重樣本n'=500）的簡單隨機樣本以取得養殖型態（是否為漁電共生的層別資訊），調查得知其中100戶為漁電共生戶，進而以簡單隨機抽樣由漁電共生及非漁電共生的養殖漁戶分別抽20%以調查其營運成本資訊，調查結果整理如下表： 養殖型態（層別） | 第一重樣本（戶）n'_h | 第二重樣本（戶）n_h | 平均年營運成本 y_i（十萬元） | 標準差 s_i（十萬元） 漁電共生（I） | 100 | 20 | 120 | 100 非漁電共生（II）| 400 | 80 | 50 | 60 合計 | 500（n'） | 100（n） | 75（s）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
估計該區域養殖漁戶平均年營運成本（Y ）（以十萬元為單位）及該估計量的標準誤。（10分）
思路引導 VIP
本題運用雙重分層抽樣（Double sampling for stratification）。
- 估計母體平均數：先從第一重樣本求出各層的比重 $w'_h = n'h / n'$。然後以各層比重加權第二重樣本的平均數 $\bar{y}{st} = \sum w'_h \bar{y}_h$。
小題 (二)
如果此調查總預算為44,500元，取得養殖型態的單位成本為9元，調查營運成本的單位成本為400元（c' = 9, c_h = 400），有關標準差、各層權重、各層平均年營運成本及標準差之母體資訊分別以前述樣本資料（s, w'_i = n'_i/n', y_i, s_i）取代。試求：（15分）
(1)決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（Optimum double sample plan），亦即求算n'、n_h。
(2)就(1)的抽樣設計求算平均年營運成本估計量（以十萬元為單位）的變異數。
(1)決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（Optimum double sample plan），亦即求算n'、n_h。
(2)就(1)的抽樣設計求算平均年營運成本估計量（以十萬元為單位）的變異數。
思路引導 VIP
本題考查雙重抽樣在固定預算限制下的「最佳配置 (Optimum Allocation)」。
- 成本函數為 $C = c' n' + \sum c_h n_h = 44500$。本題中 $c_h$ 皆為 400。