高考申論題
112年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage cluster sampling）或二階段集體抽樣（two-stage cluster sampling）。
某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage cluster sampling）或二階段集體抽樣（two-stage cluster sampling）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若抽樣方法採一階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣（SRS）抽出3個村里，就抽得的3個村里之養雞戶全數調查，調查結果村里內養雞戶數及平均年所得列於下表：
村里(cluster) i | 養雞戶數(Mi) | 村里內養雞戶平均每戶年所得(百萬元)(yi)
1 | 150 | 4
2 | 200 | 8
3 | 250 | 5.6
採用集體大小比率估計量（ratio-to-size estimator, yR）估計該縣市養雞戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。（10分）
村里(cluster) i | 養雞戶數(Mi) | 村里內養雞戶平均每戶年所得(百萬元)(yi)
1 | 150 | 4
2 | 200 | 8
3 | 250 | 5.6
採用集體大小比率估計量（ratio-to-size estimator, yR）估計該縣市養雞戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。（10分）
思路引導 VIP
本題要求使用一階段集體抽樣下的「集體大小比率估計量 (Ratio-to-size estimator)」來估計母體平均數及計算標準誤。
- 認清公式：比率估計量 $\hat{\bar{y}}_R = \frac{\sum M_i \bar{y}_i}{\sum M_i}$，亦即 $\frac{\sum Y_i}{\sum M_i}$，其中 $Y_i = M_i \bar{y}_i$ 為群內總和。
小題 (二)
若抽樣方法採二階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣抽出3個村里，再就抽得的3個村里之養雞戶以簡單隨機抽樣分別抽出1/10養雞戶進行調查，調查結果養雞戶之平均所得列於下表：
村里 i | 農戶數 Mi | 抽出養雞戶數 mi | 村里內抽得之養雞戶平均每戶年所得 yi | 標準差 si
1 | 150 | 15 | 4 | 1
2 | 200 | 20 | 7 | 3
3 | 250 | 25 | 6 | 2
試問：（15分）
(1)本抽樣設計第一階段的抽樣單位（primary sampling unit, PSU）及第二階段的抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）分別為何？
(2)採用不偏估計量（unbiased estimator, y）估計該縣市養雞戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。
村里 i | 農戶數 Mi | 抽出養雞戶數 mi | 村里內抽得之養雞戶平均每戶年所得 yi | 標準差 si
1 | 150 | 15 | 4 | 1
2 | 200 | 20 | 7 | 3
3 | 250 | 25 | 6 | 2
試問：（15分）
(1)本抽樣設計第一階段的抽樣單位（primary sampling unit, PSU）及第二階段的抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）分別為何？
(2)採用不偏估計量（unbiased estimator, y）估計該縣市養雞戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。
思路引導 VIP
本題測驗二階段抽樣的觀念及不偏估計量。
- (1)題直接考名詞定義：PSU是第一階段抽出的單位（村里），SSU是第二階段抽出的單位（養雞戶）。