高考申論題
113年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
在每次賭局中，賭徒每次下注的上限即是他當下手中所擁有的現金。每次贏錢的機率與輸錢的機率分別是 p 和 q = 1 − p。賭徒一共可以下注 n 次而且每次下注的金額為其所擁有的現金成一固定比例 α，其中 0 ≤ α ≤ 1。他的目標為最大化其最後所擁有現金取自然對數後之期望值。當賭徒手上擁有現金 x 並且還有 n 次下注機會時，以 Vn(x) 來表示在此情況下賭徒最大的期望目標值。邊際條件為 V0(x) = ln(x)。
在每次賭局中，賭徒每次下注的上限即是他當下手中所擁有的現金。每次贏錢的機率與輸錢的機率分別是 p 和 q = 1 − p。賭徒一共可以下注 n 次而且每次下注的金額為其所擁有的現金成一固定比例 α，其中 0 ≤ α ≤ 1。他的目標為最大化其最後所擁有現金取自然對數後之期望值。當賭徒手上擁有現金 x 並且還有 n 次下注機會時，以 Vn(x) 來表示在此情況下賭徒最大的期望目標值。邊際條件為 V0(x) = ln(x)。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設 p > 1/2，利用 V0(x) = ln(x) 之結果，證明 V1(x) = c + ln(x)，其中 c = ln(2) + p ln(p) + q ln(q)。（15 分）
思路引導 VIP
- 理解動態規劃遞迴式：$V_n(x)$ 是在當下現金 $x$ 時，進行最優決策後的總期望對數值。
- 建立 $V_1(x)$ 方程式：考慮一次下注，贏了現金變 $x(1+alpha)$，輸了變 $x(1-alpha)$。
小題 (二)
假設 p > 1/2，證明 Vn(x) = nc + ln(x)，for all n 皆成立而且最佳下注策略為每次下注的金額為其當下所擁有的現金之 p − q 比例。（10 分）
思路引導 VIP
- 數學歸納法（Mathematical Induction）：既然 (一) 已經證明 $n=1$ 成立，現在假設 $n=k$ 成立，證明 $n=k+1$ 也成立。
- 結構重複性：觀察動態規劃的結構，每一期最大化的對象其實都與 $x$ 獨立（對數的特性將 $x$ 分離出來了）。