高考申論題
106年
[工業工程] 作業研究
第 二 題
📖 題組：
某人現有現金 20000 元，他利用購買一高風險之基金進行投資，每月每投資一單位（10000 元）可獲利 20000 元之機率 1/5；會虧損 10000 元之機率為 4/5。投資的金額不能超過某人當時手上之現金。他想決定每月要投資多少單位（包含不投資）以使存款會在 3 個月後達到 40000 元之機率為最大。我們想用建立機率性動態規劃（probabilistic dynamic programming）決定最佳解（策略）以使該機率最大。
某人現有現金 20000 元，他利用購買一高風險之基金進行投資，每月每投資一單位（10000 元）可獲利 20000 元之機率 1/5；會虧損 10000 元之機率為 4/5。投資的金額不能超過某人當時手上之現金。他想決定每月要投資多少單位（包含不投資）以使存款會在 3 個月後達到 40000 元之機率為最大。我們想用建立機率性動態規劃（probabilistic dynamic programming）決定最佳解（策略）以使該機率最大。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
請以機率性動態規劃計算出最大機率以及求出為達成此機率之最佳解（策略）並以決策樹表示。（20 分）
思路引導 VIP
看到此題應立刻辨識為「機率性動態規劃（Probabilistic DP）」的經典題型。解題關鍵在於：先將金額「單位化」（以 10,000 元為 1 單位以簡化計算），接著明確定義「階段（剩餘月數）」、「狀態（當下持有資金）」與「決策（投資單位數）」，最後列出 Bellman 遞迴方程式 $f_n(s)$，由最後一個月（$n=1$）往回推導至現在（$n=3$），並畫出決策樹即可求解。
小題 (一)
請定義階段（stage）、狀態（state）與行動或決策（action or decision）。（10 分）
思路引導 VIP
本題為機率性動態規劃的建模題。看到這類題目，首先需依時間序劃分「階段（時間期數）」，找出足以記錄系統演進資訊的「狀態（現有資金）」，以及各階段可控制的變數「決策（投資單位數）」，並務必留意標註各變數的合理範圍與限制條件。