高考申論題
114年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
四、一名玩家擲一對骰子，如果點數總和為 7 或 10，則他贏了；如果點數總和為 3 或 11，則他輸了；如果點數總和為其他數字，他將繼續擲骰，直到遊戲結束（他贏或輸）為止。設 X 為遊戲結束（他贏或輸）所需的擲骰次數。注意：若 X = 3，指的是擲一對骰子 3 次。請回答以下問題：
四、一名玩家擲一對骰子，如果點數總和為 7 或 10，則他贏了；如果點數總和為 3 或 11，則他輸了；如果點數總和為其他數字，他將繼續擲骰，直到遊戲結束（他贏或輸）為止。設 X 為遊戲結束（他贏或輸）所需的擲骰次數。注意：若 X = 3，指的是擲一對骰子 3 次。請回答以下問題：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
求他最終贏的機率。（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先釐清「單次」擲骰的狀態空間，計算出單次「贏」、「輸」與「繼續」的機率。接著，利用吸收馬可夫鏈的性質或是無窮等比級數，算出在不斷重擲的條件下，最終落在「贏」這個吸收態的收斂機率。
小題 (二)
求 X 的動差母函數（Moment Generating Function），即 $M(t)=E[e^{tX}]$。（10 分）
思路引導 VIP
本題的核心在於辨別機率模型。首先須計算單次擲骰遊戲「結束（贏或輸）」的機率，藉此判斷遊戲結束所需的次數 $X$ 屬於「幾何分佈（Geometric distribution）」。確立分配後，利用期望值定義 $E[e^{tX}]$ 並透過無窮等比級數公式求和，即可得出動差母函數。
小題 (三)
求 X 的期望值 E[X]。（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先盤點各特定點數和出現的機率，並將「贏」與「輸」合併視為「遊戲結束」的成功事件。接著，敏銳地識別出此為重複獨立試驗直到第一次成功為止的隨機過程，故隨機變數 X 服從幾何分配（Geometric Distribution），直接套用期望值公式 E[X]=1/p 即可精確得分。
小題 (四)
請求算 A, B, C, D 四個方案分別適用於樂觀指數各為多少的範圍？
思路引導 VIP
本題測驗不確定環境下的決策方法：赫威茲準則（Hurwicz Criterion）。解題關鍵在於先找出各方案的最大與最小收益，建立以樂觀指數 α 為變數的預期收益直線方程式，再透過求解直線的交點與比較區間大小，找出各方案預期收益最大的適用範圍。