高考申論題
113年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢 n 筆光罩樣本並測量其半徑。若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有誤差，令 ε1, ε2, ..., εn 表其觀測誤差。假設觀測誤差 ε1, ε2, ..., εn 彼此相互獨立且服從平均數為 1，變異數為 σ² 之常態分配，並令 θ 為此圓形光罩的真實半徑。令變數 Y1, Y2, ..., Yn 為此 n 筆樣本之半徑的觀測值，則 Yi = θ + εi, i = 1, 2, ..., n。令 F(y) 為變數 Yi 之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題 10 分，共 80 分）
人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢 n 筆光罩樣本並測量其半徑。若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有誤差，令 ε1, ε2, ..., εn 表其觀測誤差。假設觀測誤差 ε1, ε2, ..., εn 彼此相互獨立且服從平均數為 1，變異數為 σ² 之常態分配，並令 θ 為此圓形光罩的真實半徑。令變數 Y1, Y2, ..., Yn 為此 n 筆樣本之半徑的觀測值，則 Yi = θ + εi, i = 1, 2, ..., n。令 F(y) 為變數 Yi 之累積分配函數（cumulative distribution function）。（每小題 10 分，共 80 分）
📝 此題為申論題，共 8 小題
小題 (一)
求出機率 P(|F(Y1)/F(Y2) - 1| ≤ 0.5)。
思路引導 VIP
- 核心觀念：機率積分變換（Probability Integral Transform）。2. 關鍵辨識：當 F 是連續隨機變數的累積分配函數時，隨機變數 U = F(Y) 會服從區間 [0, 1] 上的均勻分配 U(0, 1)。3. 步驟：將題目要求的機率轉化為兩個獨立均勻分配變數 U1, U2 的關係式 P(0.5 ≤ U1/U2 ≤ 1.5)，接著利用幾何機率或二重積分在單位正方形內求解。
小題 (二)
求出條件機率 P(F(Y2) > F(Y1) | F(Y2) ≥ 0.5)。
思路引導 VIP
- 核心觀念：條件機率與均勻分配。2. 步驟：同樣利用 $U_1 = F(Y_1), U_2 = F(Y_2) \sim U(0,1)$。根據條件機率公式 $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$。計算分母 $P(U_2 \ge 0.5)$ 與分子 $P(U_2 > U_1, U_2 \ge 0.5)$。
小題 (三)
假設 θ 和 σ² 皆未知，請利用觀測值 Y1, Y2, ..., Yn 求出此光罩半徑 θ 之最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。
思路引導 VIP
- 核心觀念：最大概似估計法（MLE）。2. 辨識分布：$Y_i = \theta + \epsilon_i$，已知 $\epsilon_i \sim N(1, \sigma^2)$，則 $Y_i \sim N(\theta+1, \sigma^2)$。3. 步驟：寫出概似函數 $L(\theta, \sigma^2)$，對 $\theta$ 取對數後偏微分等於 0，求出 $\hat{\theta}$。注意 $\theta$ 是平均數參數的一部分。
小題 (四)
假設 θ 和 σ² 皆未知，請利用觀測值 Y1, Y2, ..., Yn 求出此光罩面積 πθ² 之均勻最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。
思路引導 VIP
- 核心觀念：UMVUE 與 Lehmann-Scheffé 定理。2. 步驟：首先尋找充分完備統計量，對於常態分配為 $(\bar{Y}, S^2)$。接著尋找一個關於 $\pi\theta^2$ 的不偏估計量。利用 $E[\bar{Y}] = \theta+1$ 與 $Var(\bar{Y}) = \sigma^2/n$ 的關係進行構造。
小題 (五)
假設 θ 和 σ² 皆未知，請求出光罩半徑 θ 之信賴水準 100(1-α)% 的信賴區間。
思路引導 VIP
- 關鍵辨識：母體變異數 $\sigma^2$ 未知且母體服從常態分配。2. 統計量選擇：使用 t-統計量。3. 步驟：建構 $T = \frac{(\bar{Y}-1) - \theta}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，進而求出區間。
小題 (六)
若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光罩的瑕疵率皆為 λ。令變數 Si 為第 i 條生產線上檢測產品直到檢測出第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數，i = 1, 2，請求出機率 P[S1 = S2]。
思路引導 VIP
- 辨識分布：$S_i$ 表示直到第一個成功（瑕疵）前的失敗（良品）次數，服從幾何分配 $Geo(\lambda)$。2. 確定機率質量函數 (PMF)：$P(S=k) = (1-\lambda)^k \lambda, k=0, 1, 2...$。3. 步驟：計算無限級數和 $\sum_{k=0}^{\infty} [P(S=k)]^2$。
小題 (七)
續題(六)，令變數 U = Min{S1, S2} 代表取 S1, S2 之最小值，請求出 U 之機率密度函數 f(u)。
思路引導 VIP
- 核心觀念：離散型隨機變數的最小值分布。2. 誤區注意：$S_i$ 是離散的，題目要求「機率密度函數」實為「機率質量函數 (PMF)」。3. 步驟：利用生存函數 $P(U > u) = P(S_1 > u)P(S_2 > u)$ 先求出累積分布，再求 PMF。
小題 (八)
求出題(七)之變數 U 的期望值 E(U)。
思路引導 VIP
- 核心觀念：幾何分配的期望值。2. 步驟：辨識出 $U$ 也是一個幾何分配，其成功機率為 $\lambda' = 2\lambda - \lambda^2$。使用公式 $E[X] = (1-p)/p$（失敗次數定義）。