高考申論題
113年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取 600 名八年級學生進行滿分 100 分之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數 56 分、樣本標準差 18 分，分數分布如下： 分數 [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100] 人數 54 144 252 120 30 請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分） (一)在 0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。 (二)若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。已知疫情前，此三種等級之比例分別為 30%，50%，20%。在顯著水準 0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取 600 名八年級學生進行滿分 100 分之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數 56 分、樣本標準差 18 分，分數分布如下： 分數 [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100] 人數 54 144 252 120 30 請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分） (一)在 0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。 (二)若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。已知疫情前，此三種等級之比例分別為 30%，50%，20%。在顯著水準 0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
在 0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。
思路引導 VIP
本題為檢定分組資料分配型態的經典考題，應直覺聯想到使用「皮爾森卡方配適度檢定（Pearson's Chi-square Goodness-of-Fit Test）」。解題關鍵在於：利用已知的樣本平均數與標準差將各組邊界標準化（Z轉換）求出理論機率，並留意計算自由度時，必須扣除估計參數的個數（此處估計了平均數與標準差，故需額外扣除2）。
小題 (二)
若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。已知疫情前，此三種等級之比例分別為 30%，50%，20%。在顯著水準 0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
思路引導 VIP
看到「檢定資料的類別比例是否符合已知歷史分布」，應立即聯想到「卡方適合度檢定」（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）。解題關鍵在於先將組別重新劃分為三個等級並算出觀測次數，再利用疫情前比例算出期望次數，最後代入卡方統計量公式檢定。