第 一 題

這是一題進階的三相交流電路分析題。首先要看懂電路圖的結構：(1) 左側為一對稱（平衡）的三相電壓源，中性點為 $n$；(2) 右側負載端的中性點為 $N$；(3) 連接 $n$ 與 $N$ 的中性線電流為 $0\text{ A}$。中性線電流為 $0\text{ A}$ 是一個極其重要的條件，這代表 $V_{nN} = 0\text{ V}$（即 $n$、 $N$ 兩點同電位），也意味著三相負載電流之和為零。此外，這使得每一相可以獨立進行單相分析。第三相（最下方分支）包含底部的電壓源 $160\cos(400t - 120^\circ)\text{ V}$ 與該方塊負載串聯，其上流經的電流大小已知為 $20\cos(400t + \phi)\text{ A}$（峰值為 $20\text{ A}$）。由於 $V_{nN} = 0$，方塊負載兩端的電壓即為該相的電源電壓。有了電壓峰值 $V_m = 160\text{ V}$、電流峰值 $I_m = 20\text{ A}$，以及給定的功率因數 $PF = 0.5$，我們便可以直接計算出方塊負載的平均功率。

要計算理想電阻 $R$ 的平均功率，我們需要知道 $R$ 的阻值以及流經它的電流。這可以由中性線電流為零的條件下手：$\mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2 + \mathbf{I}_3 = 0$，也就是 $\mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2 = -\mathbf{I}_3$。我們可以用相量來表示各相：第一相與第二相均有相同的阻抗 $Z = R + j\omega L$。透過相量運算，我們可以導出 $\mathbf{I}_3$ 的相量表示式，並結合 $\mathbf{I}_3$ 振幅為 $20\text{ A}$、功率因數為 $0.5$ 的條件，求出電抗與電阻的比例，以及等效阻抗大小 $|Z|$，最後求出 $R$。求出 $R$ 之後，再利用 $P_R = \frac{1}{2} I_m^2 R$ 計算每個電阻 $R$ 的功率。

這是一題非常經典的「觀念陷阱題」。在電路學中，理想電感（或理想電容）是純粹的儲能元件，其電壓與電流的相位差恆為 $90^\circ$。因此，它只會吸收與釋放無效功率（虛功率，Reactive Power），而不會消耗任何平均功率（實功率，Real Power/Average Power）。考生在計算出 $L$ 的數值後，切勿盲目地代入公式計算實功率，應直接從物理定義進行論述說明。