第 四 題
三、如圖三，該開關已開路一段長時間後，於時間為 t=0 sec 時，突然開關閉合，記錄到之電流 i_S(t > 0 sec) 可用下列式子表示，請計算回答下列問題：\ni_S(t > 0) = k_1 \cos(10t) + k_2 \sin(10t) + k_3 \cdot e^{k_4 t}\ \text{(V)}
小題 (四)
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係數 $k_4$ 位於指數項 $e^{k_4 t}$ 中，它代表電路的「自然頻率」（Natural Frequency）或時間常數的倒數之負值（即 $-1/\tau$）。自然頻率完全取決於電路結構本身（無源時的等效電阻與電容），與外部激勵源無關。我們可以透過關閉電壓源（短路），求出從電容兩端看進去的等效戴維寧電阻 $R_{eq}$，則時間常數 $\tau = R_{eq} C$，自然頻率即為 $k_4 = -1/\tau$。這是一個極具物理直覺且快速的解法！
小題 (一)
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這題是典型的一階交流暫態電路分析。開關在 $t=0$ 閉合，我們需要求得迴路電流 $i_S(t)$。解題思路上：(1) 先求 $t < 0$ 的初始條件（電容開路長時間，故 $v_C(0^-) = 0\text{ V}$）；(2) 當 $t > 0$ 開關閉合後，這是一個由 $10\cos(10t)$ 電源驅動的 RC 電路（$0.4 \Omega$ 電阻與並聯的 $0.1\text{ F}$ 電容、 $2 \Omega$ 電阻串聯）。我們可以先建立電容電壓 $v_C(t)$ 的微分方程式，求出 $v_C(t)$ 後，再利用 KCL 求出 $i_S(t)$。而 $k_1$ 與 $k_2$ 分別對應到交流穩態響應（即特解，Particular Solution）的餘弦與正弦項係數。我們可以使用相量法（Phasor Method）來快速計算穩態響應。
小題 (二)
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係數 $k_2$ 是時域穩態電流中正弦項（$\sin(10t)$）的係數。在子題(一)中，我們已經通過相量法求得穩態電流為 $i_{S,p}(t) = 6.25\cos(10t) - 6.25\sin(10t)$。因此可以直接對照得出 $k_2$ 的值。請特別注意正負號！
小題 (三)
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係數 $k_3$ 代表暫態響應（齊次解，Homogeneous Solution）的振幅。要決定這個常數，必須利用電路的「初始條件」。我們已知在 $t=0^-$ 時開關已開路極長時間，電容完全放電，故 $v_C(0^-) = 0\text{ V}$。在 $t=0^+$ 開關閉合瞬間，電容電壓不能突變，故 $v_C(0^+) = 0\text{ V}$。由此可計算出 $t=0^+$ 時的總電流 $i_S(0^+)$。接著，將 $t=0$ 帶入 $i_S(t)$ 的通式，建立包含 $k_3$ 的等式，即可求得 $k_3$。