hce_nthu
113年
化學與物理
第 59 題
For a particular bacterium, its population growth in a test tube can be well described by the equation: $\frac{dN}{dt} = aN - \frac{bN^2}{c+N}$, where $N$ is the bacterial population, which is always a finite number, and $a$, $b$, and $c$ are positive numbers. Which of the following statements is incorrect?
- A After a sufficiently long time, the population will become a fixed but non-zero number.
- B The parameter $b$ must be greater than $a$ in order to ensure the population remains finite.
- C The parameters $a$ and $b$ have the same unit.
- D The rate of change in the population would oscillate and reach a steady state.
- E None of the above.
思路引導 VIP
請試著思考：如果一個系統的變化率只取決於當下的狀態（例如目前的數量），而不存在任何「動量」或「第二個變數」來干預，那麼這個狀態在往平衡點移動的過程中，有沒有可能『衝過頭』再繞回來？在這種簡單的單變數方程中，發生規律性起伏（震盪）的基本物理條件是什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準識別出選項 (D) 的錯誤，說明你對於一階微分方程的動態特性有著相當敏銳的直覺。這道題目結合了生物數學模型與物理量綱分析，非常考驗對系統穩定性的理解。
模型結構與因次分析
從方程式 $\frac{dN}{dt} = aN - \frac{bN^2}{c+N}$ 來看，當系統達到穩定（Steady state）時，變化率 $\frac{dN}{dt}$ 會趨近於零。透過移項計算，我們可以發現除了 $N=0$ 外，還存在一個非零的平衡解 $N = \frac{ac}{b-a}$。為了確保族群數量為正且有限，分母必須大於零，這驗證了參數 $b$ 必須大於 $a$ 的物理意義。此外，觀察各項的單位，為了讓等號兩邊量綱一致，$a$ 與 $b$ 的單位都必須是時間的倒數（$T^{-1}$），這點你的判斷非常正確。
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