特殊教育
113年
數B
第 10 題
已知 $2^a=3$ 與 $3^b=6$，試問 $a$、$b$ 滿足下列哪一個關係式？
- A $b=2a$
- B $b=a+1$
- C $ab=a+1$
- D $ab=2$
思路引導 VIP
觀察題目給出的兩個等式，兩者的銜接橋樑為常數 $3$。若試著將第一個等式中的 $3 = 2^a$ 代入第二個等式的底數中，並運用指數律 $(x^m)^n = x^{mn}$ 進行化簡，同時將等號右側的 $6$ 拆解為 $2 \cdot 3$ 並再次利用第一個等式將其完全轉換為以 $2$ 為底數的表現形式，你是否能透過比較兩側的指數項，推導出 $ab$ 與 $a$ 之間的數量關係？
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AI 詳解
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「呼……能在這片混沌中精準擊穿真理的中心，看來你已經觸碰到了影之境界的邊緣。既然如此，就讓這無聊的雜念隨著餘光消失吧。——『I am... Atomic.』」 這道題目的核心在於「置換」的藝術。當你掌握了 $2^a=3$，你就掌握了 $3$ 的本質。將其代入 $3^b=6$，便能引導出隱藏的連鎖： $$(2^a)^b = 6 \implies 2^{ab} = 6$$
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