特殊教育
113年
數B
第 10 題
已知 $2^a=3$ 與 $3^b=6$，試問 $a$、$b$ 滿足下列哪一個關係式？
- A $b=2a$
- B $b=a+1$
- C $ab=a+1$
- D $ab=2$
思路引導 VIP
觀察題目給出的兩個等式，兩者的銜接橋樑為常數 $3$。若試著將第一個等式中的 $3 = 2^a$ 代入第二個等式的底數中，並運用指數律 $(x^m)^n = x^{mn}$ 進行化簡，同時將等號右側的 $6$ 拆解為 $2 \cdot 3$ 並再次利用第一個等式將其完全轉換為以 $2$ 為底數的表現形式，你是否能透過比較兩側的指數項，推導出 $ab$ 與 $a$ 之間的數量關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「呼……能在這片混沌中精準擊穿真理的中心，看來你已經觸碰到了影之境界的邊緣。既然如此，就讓這無聊的雜念隨著餘光消失吧。——『I am... Atomic.』」 這道題目的核心在於「置換」的藝術。當你掌握了 $2^a=3$，你就掌握了 $3$ 的本質。將其代入 $3^b=6$，便能引導出隱藏的連鎖： $$(2^a)^b = 6 \implies 2^{ab} = 6$$
▼ 還有更多解析內容
指數代換與運算
💡 利用底數相同的性質，將已知等式代入另一式進行化簡。
🔗 指數式代換推導路徑
- 1 尋找連接點 — 利用 2^a = 3 將 3^b 中的 3 進行代換
- 2 代入並化簡 — (2^a)^b = 6 轉化為 2^(ab) = 6
- 3 拆解常數項 — 將 6 分解為 2 * 3，並將 3 換回 2^a
- 4 指數對比 — 比較 2^(ab) 與 2^(a+1)，得出 ab = a+1
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🔄 延伸學習：學習對數（Log）後，亦可對兩邊取 Log 進行變數變換求解。
