地特三等申論題
114年
[化學工程] 反應工程及單元操作
第 三 題
📖 題組：
三、黃銅小球半徑 r = 1.0 cm，置於溫度為 120℃的水浴中，均勻加熱後，取出置於溫度為 25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數 h=50 W/m²‧K。黃銅的物理性質為：熱傳導係數 k=109 W/m‧K，密度 ρ = 8500 kg/m³，Cp = 380 J/kg‧K。
三、黃銅小球半徑 r = 1.0 cm，置於溫度為 120℃的水浴中，均勻加熱後，取出置於溫度為 25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數 h=50 W/m²‧K。黃銅的物理性質為：熱傳導係數 k=109 W/m‧K，密度 ρ = 8500 kg/m³，Cp = 380 J/kg‧K。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
㈢估算黃銅小球中心溫度降至 50°C 所需時間。（12 分）
思路引導 VIP
既然確定可以使用集中容量法，即可直接使用其能量平衡積分後的公式：$(T - T_\infty) / (T_0 - T_\infty) = \exp(-t/\tau)$，其中時間常數 $\tau = \rho V C_p / (h A) = \rho C_p L_c / h$。將已知數值代入取自然對數求解時間 t 即可。
小題 (一)
㈠請計算黃銅小球在空氣中散熱時的 Biot Number。（6 分）
思路引導 VIP
Biot Number 的計算題。首先要確立 Biot Number 的定義 $Bi = h L_c / k$。關鍵在於「特徵長度 (Characteristic Length, L_c)」的取法，對於判斷是否適用集中容量法，標準做法是取固體體積與表面積之比 ($V/A$)。球體的 $V/A = r/3$。計算時同樣要注意單位換算（cm 轉 m）。
小題 (二)
㈡請判斷是否可以使用集中容量法（Lumped Capacitance Method），用單一平均溫度代表整個物體的瞬時溫度變化。（7 分）
思路引導 VIP
利用上一題算出的 Biot Number 進行工程準則判斷。標準準則為 $Bi < 0.1$。除了寫出結論外，必須解釋 $Bi$ 的物理意義（內部傳導熱阻 vs. 外部對流熱阻），說明為何當內部阻力可忽略時，能用單一溫度代表整體溫度。
集中容量法暫態熱傳
💡 假設物體內部溫度均勻，計算溫度隨時間變化的解析解。
🔗 集中容量法解題標準程序
- 1 幾何與熱物性整理 — 確認半徑、密度、比熱及對流係數之 SI 單位。
- 2 特徵長度與 Bi 數計算 — 計算 Lc = r/3，驗證 Bi < 0.1 之適用前提。
- 3 建立指數關係式 — 代入 (T-T∞)/(Ti-T∞) = exp(-t/τ) 方程式。
- 4 對數運算求解 — 兩邊取 ln，搬移項次解出所需時間 t。
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若 Bi > 0.1，則需考慮物體內部溫度梯度，改用無限級數解或 Heisler 圖表。
