地特三等申論題
114年
[化學工程] 反應工程及單元操作
第 三 題
📖 題組：
二、某一不可逆一階氣固反應，在恆溫下於球形多孔催化粒子中進行，催化粒子直徑為 2.0 mm，反應速率常數 k = 0.06 s⁻¹，氣體之有效擴散係數為De = 6.0×10⁻⁶ m²/s。請回答下列問題：
二、某一不可逆一階氣固反應，在恆溫下於球形多孔催化粒子中進行，催化粒子直徑為 2.0 mm，反應速率常數 k = 0.06 s⁻¹，氣體之有效擴散係數為De = 6.0×10⁻⁶ m²/s。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
㈢推導氣體反應物在催化粒子中的分布。（9 分）
思路引導 VIP
這是一道經典的輸送現象與微積分推導題。必須從球座標的質量平衡（殼層平衡 Shell balance）出發，建立統御方程式 (Governing Equation)。接著列出兩個邊界條件（中心對稱、表面濃度），並利用變數代換技巧（令 y = C_A * r）將變係數二階 ODE 轉化為常係數二階 ODE 來求解，最後得雙曲函數解。
小題 (一)
㈠寫出在球形顆粒中的一階反應系統的 Thiele modulus 定義式並解釋其物理意義。（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗多相催化中最基礎的無因次群：Thiele modulus。作答時必須精確寫出其數學定義式（需標明特徵長度的定義，通常球體用半徑 R，或是 L=R/3 皆可，但須註明清楚），並解釋其物理意義，即「反應速率」與「擴散速率」的相對比值。
小題 (二)
㈡計算此反應系統的 Thiele modulus，並根據所得之數值判斷反應主要受何種機制控制？（8 分）
思路引導 VIP
利用上一題的定義式進行計算。題目給的是「直徑」2.0 mm，必須先轉換為「半徑」1.0 mm，並換算單位為公尺 ($10^{-3}$ m) 以符合速率常數和擴散係數的 SI 單位制。算出的數值後，與 1 進行比較，小於 1 代表反應控制，大於 1 代表擴散控制。
球形催化劑反應擴散
💡 利用質量平衡與 Fick 定律建立球座標 ODE 並推導濃度分布。
🔗 球形催化劑濃度分布推導流程
- 1 殼層平衡 — 依據質量守恆與 Fick 定律建立球座標微分方程式。
- 2 邊界條件 — 設定中心對稱性與表面濃度邊界以決定積分常數。
- 3 變數代換 — 令 y = C_A * r，將複雜 ODE 轉化為易解的二階線性形式。
- 4 最終分布 — 解出通解並還原，導出以 sinh 函數表示的濃度分布。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用此分布積分可求得內部有效係數 η = (3/φ)*(1/tanh(φ) - 1/φ)。
